計算函數z=e^9x(34x+9y^2+18y)極值

計算函數z=e^9x(34x+9y^2+18y)極值

主要內容：

本文主要通過二元函數的極值判定必要條件，介紹計算z=e^9x(34x+9y^2+18y)極值的主要過程步驟。

判定定理：

設二元函數z=f(x,y)在點Mo(xo,yo)的某一鄰域內連續,且有連續的一二階偏導數,又Mo(xo,yo)是駐點,令A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),且△=B^2-AC，則：(1)當△<0時,點Mo(x,yo)是極值點.且當A<0時,點Mo(xo,yo)是極大值點;當A>0時，Mo(x,y)是極小值;(2)當△＞0，沒有極值；(3)當△=0，極值就需要做進一步討論。

主要過程：

※.偏導數求解

曲線z=e^9x(34x+9y^2+18y)分別對x,y求偏導數有：

z'x=9e^9x*(34x+9y^2+18y)+34e^9x=e^9x*(306x+81y^2+162y+34),

z'y=e^9x*(18y+18);

令z'x=z'y=0,則：

306x+81y^2+162y+34=0，且18y+18=0，

即可求出：x0=47/306，y0=-1。

※.二階導數求解

根據二元函數的極值判斷規則，有：

A=z'xx=9e^9x(306x+81y^2+162y+34)+e^9x*306

=9e^9x(306x+81y^2+162y+68), 此時，

A(x0,y0)=9e^(47/34)*(306x+81y^2+162y+68)

=9e^(47/34)*[306*(47/306)+81+162+68]

=306e^(47/34);

B=z''xy=9e^9x*(18y+18)，此時,

B(x0,y0)=9*e^(47/34)[18*(-1)+18]=0,

C=z''yy=18e^9x，此時C(x0,y0)=18*e^(47/34);

※.極值的判斷

對于點M0(47/306,-1)有：

△=B0^2-A0*C0

=0-306e^(47/34)*18*e^(47/34)

=-5508*e^(47/34)^2＜0。

又因為A=306e^(47/34)＞0，此時點M0為該多元函數的極小值點。

所以函數的極小值為：

f(x,y)極小=f(47/306,-1)

=e^(47/34)*[34*(47/34)+9*(-1/1)^2+18*(-1)]

=-e^(47/34)*34/9。