六道數學極限練習題及計算過程

主要內容：

1.計算lim(n→∞)(24n2-39)/(19n?+8n-9)

2.計算lim(n→∞)(47n-3n-13)/(6+6n-36n2)

3.求極限lim(x→1)(x3-23x+22)/(x?-37x+36)

4.求lim(x→0)(5x+8sin9x)/(7x-24sin8x)

5.求lim(x→∞)(x2sin1/x)/(20x+36)

6.求lim(x→0)(sin7x-sin17x)/sin5x.

詳細過程：

1.計算lim(n→∞)(24n2-39)/(19n?+8n-9)

解：觀察所求極限特征，可知所求極限的分母此時為2，分子的次數為4，且分子分母沒有可約的因子，則當n趨近無窮大時，所求極限等于0。

本題計算方法為分子分母同時除以n?，即：

lim(n→∞)(24n2-39)/(19n?+8n-9)

=lim(n→∞)(24/n-39/n?)/(19+8/n3-9/n?),

=0。

2.計算lim(n→∞)(47n-3n-13)/(6+6n-36n2)

解：思路一：觀察所求極限特征，可知所求極限的分子分母的次數相同均為2，且分子分母沒有可約的因子，則分子分母同時除以n2，即：

lim(n→∞)(47n2-3n-13)/(6+6n-36n2)

=lim(n→∞)(47-3/n-13/n2)/(6/n+6/n-36),

=(47-0)/(0-36),

=-47/36。

思路二：本題所求極限符合洛必達法則，有：

lim(n→∞)( 47n2-3n-13)/(6+6n-36n2)

=lim(n→∞)(94n-3)/(6-72n)，繼續使用羅必塔法則，

=lim(n→∞)(94-0)/(0-72)，

=-47/36。

3.求極限lim(x→1)(x3-23x+22)/(x?-37x+36)

解：觀察極限特征，所求極限為定點x趨近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是極限函數的可去間斷點，則：

lim(x→1)(x3-23x+22)/(x?-37x+36)

=lim(x→1)(x-1)(x2+x-22)/[(x-1)(x3+x2+x-36)],

=lim(x→1)(x2+x-22)/(x3+x2+x-36),

=(1+1-22)/(1+1+1-36),

=20/33。

4.求lim(x→0)(5x+8sin9x)/(7x-24sin8x)

解：思路一：本題思路主要通過重要極限公式lim(x→0)sinx/x=1應用計算而得，則：

lim(x→0)(5x+8sin9x)/(7x-24sin8x)，

=lim(x→0)(5+8sin9x/x)/(7-24sin8x/x)，

=lim(x→0)(5+72sin9x/9x)/(7-192sin8x/8x)，

=(5+72)/(7-192)，

=-77/185。

思路二：使用羅必塔法則計算有：

lim(x→0)(5x+8sin9x)/(7x-24sin8x)，

=lim(x→0)(5+8*9cos9x)/(7-24*8cos8x)，

=(5+8*9)/(7-24*8)，

=-77/185。

5.求lim(x→∞)(x2sin1/x)/(20x+36)

解：本題思路是分子分母同時除以x，并變形使用重要極限公式lim(x→0)sinx/x=1，則：

lim(x→∞)(x2sin1/x)/(20x+36)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(20x+36)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[20+(36/x)],

=1/{lim(x→∞)[20+(36/x)]},

=1/20。

6.求lim(x→0)(sin7x-sin17x)/sin5x

解：思路一：對分母進行三角和差化積，再進行極限計算，有：

lim(x→0)(sin7x-sin17x)/sin5x

=lim(x→0)2cos12xsin(-5x)/sin5x,

=lim(x→0) -2cos12x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用羅必塔法則計算有：

lim(x→0)(sin7x-sin17x)/sin5x,

=lim(x→0)(7cos7x-sin17cos17x)/(5cos5x)，

=lim(x→0)(7-17)/5，

=-2。