數學知識之5個初等函數性質解析(十三)

數學知識之5個初等函數性質解析(十三)

主要內容：

1.求f(x)=(4x-15)3√(4x+9)2的單調性區間和極值。

2.已知f(x)+9f(-x)=x,求f(x)。

3.函數y=√(20-2x)的單調和凸凹等性質

4. 函數y=2x3+2x2+3x的主要性質

5. y=x2-13|x|方程的單調性及單調區間

1.求f(x)=(4x-15)3√(4x+9)2的單調性區間和極值。

主要內容：

通過函數的導數，求出函數的駐點，判斷函數的單調性，進而求解函數f(x)=(4x-15)3√(4x+9)2的單調區間和極值。

解：函數f(x)對x求導，得：

y'=4*3√(4x+9)2+(4x-15)*2/[3*3√(4x+9)],

=[12(4x+9)+2(4x-15)]/[3*3√(4x+9)],

=（56x+78）/3*3√(4x+9)],

令y'=0,則56x+78=0，即：

x=-39/28。

下面需要判斷導數y'的符號問題，

分母零點x0=-9/4,又函數的定義域為全體實數，則有：

(1)當x∈(-∞，-9/4]和[-39/28,+∞]時，y’>0,

此時函數y為增函數，該區間為單調增區間。

(2)當x∈(-9/4,-39/28)時，y’<0,

此時函數y為減函數，該區間為單調減區間。

進一步可得，在x=-9/4取得極大值，

在x=-39/28處取得極小值，所以：

y極大值=f(-9/4)=0,

y極小值=f(-39/28)=-18*3√(24/7)。

2.已知f(x)+9f(-x)=x,求f(x)。

主要內容

通過抽象函數換元、函數代換法，介紹已知f(x)+9f(-x)=x,求函數f(x)表達式的具體步驟。

思路一：抽象函數換元

設-x=t,則x=-t，代入已知條件得：

f(-t)+9f(t)=-t,

9f(t)+f(-t)=-t,

由于函數自變量可以用任意符號表示，

同時連立已知條件，得方程組：

9f(x)+f(-x)=-x……(1)

f(x)+9f(-x)=x……(2)

方程(1)*9-(2)，得：

(81-1)f(x)=-9x-x,

(9-1)f(x)=-x，

所以f(x)=-x/8。

思路二:函數代換法

設f(x)=mx+n,則：

f(-x)=-mx+n,代入已知條件得：

(mx+n)-9mx+n=x

(-8m-1)x+2n=0,

方程對任意的x都成立，則：

-8m-1=0,且2n=0。

即：m=-1/8,n=0,

所以f(x)=-x/8。

3.函數y=√(20-2x)的單調和凸凹等性質

主要內容：

本文介紹函數y=√(20-2x)的定義域、值域、極限等性質，并用導數知識判斷函數的單調性和凸凹性，并求出函數的單調區間和凸凹區間。

函數的定義域值域：

根據函數特征，有：

20-2x≥0，則x≤10.

即函數的定義域為：(-∞, 10).

根式函數的值域為[0,+∞).

函數的極限：

Lim(x→10)√(20-2x)=0；

Lim(x→-∞)√(20-2x)= +∞。

函數的單調性：

∵y=√(20-2x)

∴dy/dx=-1/√(20-2x)<0,

則函數在定義(-∞, 10)上為單調減函數。

函數的凸凹性：

∵dy/dx=-√(20-2x)=-(20-2x)^(-1/2),

∴d2y/dx2

=(1/2)(20-2x)^(-3/2)*(-2)

=-(20-2x)^(-3/2)<0.

所以函數y在(-∞, 10)上為凸函數。

4. 函數y=2x3+2x2+3x的主要性質

主要內容：

本文主要介紹函數y=2x3+2x2+3x的定義域、單調性、值域、凸凹性及極限等性質，并舉例介紹函數導數的應用，同時通過函數導數知識，求解函數的單調和凸凹區間。

函數定義域：

根據函數特征，函數y=2x3+2x2+3x右邊表達式為自變量的多項式，即可取任意實數，故函數的定義域為：(-∞，+∞)。

函數單調性：

用導數的知識來判斷函數的單調性，并求解函數的單調區間。

∵y=2x3+2x2+3x,

∴dy/dx=6x2+4x+3,

對于方程6x2+4x+3=0,有：

判別式△=42-4*6*3<0,即dy/dx>0.

所以函數在定義域上為增函數。

函數凸凹性：

∵dy/dx=6x2+4x+3

∴d2y/dx2=4(3x+1),令d2y/dx2=0，則：

x=-1/3,且有：

(1)當x∈(-∞，-1/3)時，d2y/dx2>0,

則此時函數為凹函數。

(2)當x∈[-1/3，+∞）時，d2y/dx2<0,

則此時函數為凸函數。

函數的極限：

lim(x→+∞) 2x3+2x2+3x=-∞;

lim(x→0) 2x3+2x2+3x=3;

lim(x→-∞) 2x3+2x2+3x=+∞;

根據函數的極限可知，函數的值域為(-∞，+∞)。

5. y=x2-13|x|方程的單調性及單調區間

主要內容：

通過去絕對值討論方法，介紹求解絕對值方程y=x2-13|x|的單調性及單調區間的主要步驟。

主要步驟：

解：1.當x≥0時，|x|=x,代入得：

y=x2-13|x|=x2-13x,

對稱軸x=-(-13)/2=13/2>0,

此時二次方程開口向上，則有：

(1)當x∈[0,13/2]時，函數y為減函數，

該區間為二次函數的減區間；

(2)當x∈(13/2,+∞)時，函數y為增函數，

該區間為二次函數的增區間。

2.當x＜0時，|x|=-x,代入得：

y=1x2-13|x|=1x2+13x,

對稱軸x=-13/2＜0,

此時二次方程開口向上，則有：

(1)當x∈[-13/2,0)時，函數y為增函數，

該區間為二次函數的增區間；

(2)當x∈(-∞，-13/2)時，函數y為減函數，

該區間為二次函數的減區間。