“開(kāi)胃菜”數(shù)學(xué)專(zhuān)欄第16期：定積分不等式證明題之端點(diǎn)變易法

本期話(huà)題：積分等式和不等式證明題是考研中難度較大的板塊，主要方法有積分中值定理、泰勒公式、化為二重積分、柯西不等式等，本期介紹一個(gè)常用方法：端點(diǎn)變易化方法，即將積分區(qū)間的其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為 ，構(gòu)造變限積分函數(shù)，然后利用變限積分的性質(zhì)、微積分基本定理以及中值定理等來(lái)進(jìn)行證明。這種方法在證明與定積分有關(guān)的中值問(wèn)題、不等式證明等問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到，通過(guò)對(duì)變限積分函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究，可以巧妙地解決很多定積分證明題。

注意：構(gòu)造變限積分函數(shù) 時(shí)，一般要明確 在積分區(qū)間 上連續(xù)，這是保證 可導(dǎo)的關(guān)鍵前提。

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典型題

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自主練習(xí)

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【注1】“開(kāi)胃菜” 數(shù)學(xué)專(zhuān)欄是咱號(hào)為助力學(xué)友們攻克大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難關(guān)，特別聯(lián)合在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域擁有深厚積淀與豐富經(jīng)驗(yàn)的金義明老師共同打造的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)專(zhuān)欄。專(zhuān)欄以 “夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、拓展解題思路、提升問(wèn)題解決能力” 為核心宗旨，聚焦學(xué)生在大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)中的核心需求。無(wú)論是在課堂學(xué)習(xí)后，希望進(jìn)一步鞏固相關(guān)課程的核心知識(shí)點(diǎn)，解決知識(shí)掌握不牢固的問(wèn)題；還是在解題過(guò)程中，面臨思路狹窄、方法單一的困境，渴望拓寬解題視角；亦或是希望系統(tǒng)積累各類(lèi)實(shí)用解題技巧，提升解題效率與準(zhǔn)確性，專(zhuān)欄都將提供針對(duì)性的內(nèi)容支持。

在推文內(nèi)容定位上，專(zhuān)欄主要面向三類(lèi)核心人群：針對(duì)考研備考學(xué)子，圍繞考研數(shù)學(xué)大綱，梳理高頻考點(diǎn)、解析經(jīng)典真題，助力學(xué)子夯實(shí)考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，突破備考難點(diǎn)；面向競(jìng)賽備賽的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛(ài)好者，將分享競(jìng)賽常用解題思路、技巧與典型例題，幫助同學(xué)提升競(jìng)賽解題能力，從容應(yīng)對(duì)賽事挑戰(zhàn)；同時(shí)，對(duì)于希望在大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)課程學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步提升與鞏固的學(xué)友，專(zhuān)欄也通過(guò)知識(shí)點(diǎn)深化講解、易錯(cuò)點(diǎn)分析等內(nèi)容，助力其穩(wěn)步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)成績(jī)。

【注2】對(duì)于練習(xí)，一定不要做完、核對(duì)完答案后就不管了！這些題目都具有代表性，一般代表了一類(lèi)問(wèn)題，或者某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用、或某個(gè)題型的求解思路與方法，不僅對(duì)于解題思路要理解、掌握，同時(shí)對(duì)于涉及的知識(shí)點(diǎn)、解題思想與方法要總結(jié)，對(duì)于其中的一些結(jié)論、結(jié)果最好能夠記住。同時(shí)，對(duì)于給出的參考解答過(guò)程，要仔細(xì)推敲一下，為什么這么做？問(wèn)題解決的突破口在哪里？還有沒(méi)其他更好的方法，自己的方法為什么不對(duì)，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及時(shí)查漏補(bǔ)缺，保證在再出現(xiàn)類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，能夠重現(xiàn)求解思路與過(guò)程，從而保證訓(xùn)練的有效性！對(duì)于如何練習(xí)，可以參考推文：.

【注3】選擇的例題與練習(xí)題主要源于歷屆考研題、競(jìng)賽題與經(jīng)典教材與參考書(shū)，相關(guān)題目可能略有改動(dòng)！建議（一定）自己在草稿紙上動(dòng)手做完以后再參考下面給出的參考答案！更多綜合、提高典題型及詳細(xì)參考解答（多解）參看高數(shù)、數(shù)分綜合提高練習(xí)冊(cè)，點(diǎn)擊推文鏈接：了解詳情！

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上期練習(xí)參考簡(jiǎn)答

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