如果把地球打個洞，扔個東西進(jìn)去會怎么運(yùn)動？

錢維宏 北京大學(xué)物理學(xué)院

在科學(xué)課上，我們總愛問些“天馬行空”的問題：星星為什么不會掉下來？月亮為什么一直跟著地球轉(zhuǎn)？還有一個特別經(jīng)典的腦洞題——如果能把地球打一個貫穿中心的洞，從這頭扔一個東西進(jìn)去，它會運(yùn)動到哪里去呢？

這個問題看起來很“不切實(shí)際”，卻藏著牛頓力學(xué)、引力定律這些重要的物理知識。以前，科學(xué)家們大多用牛頓的引力觀點(diǎn)來解釋這個問題；但現(xiàn)在，要是換成一種新的視角——正交碰撞理論下的膨脹力慣性世界觀，結(jié)果可能會和我們想象的完全不一樣哦！今天，我們就一起來拆解這個有趣的科學(xué)問題。

要搞懂這個問題，我們先從大家相對熟悉的牛頓引力世界觀開始。簡單說，牛頓認(rèn)為，地球上的物體都會受到地球的“吸引力”，這個力就是我們常說的重力，比如蘋果會自由掉落到地上，就是因?yàn)橹亓Φ淖饔谩；谶@個觀點(diǎn)，我們可以分“理想情況”和“現(xiàn)實(shí)情況”兩種場景，來分析物體在地球地洞中的運(yùn)動。

一、牛頓引力世界觀：物體在地球地洞中的運(yùn)動

首先要明確，這個問題的核心是“地球引力的分布”——地球內(nèi)部不同位置的引力大小和方向不同，物體的運(yùn)動狀態(tài)也會跟著變化。我們先假設(shè)一個“完美的理想世界”，再回到真實(shí)的地球環(huán)境中分析。

1. 理想模型：沒有阻力、地球均勻、不自轉(zhuǎn)

我們先做幾個“大膽的假設(shè)”：第一，我們沿著地球的兩極連線打洞，這樣可以避開地球自轉(zhuǎn)帶來的影響；第二，地球內(nèi)部的物質(zhì)密度是均勻的，就像一個質(zhì)地均勻的大皮球；第三，洞壁非常光滑，里面沒有空氣，也就沒有任何阻力。在這種完美的條件下，我們把一個小球從北極的洞口扔進(jìn)去，它的運(yùn)動過程會非常有規(guī)律。

首先是下落階段：小球從北極的地表出發(fā)，會在地球引力的作用下，朝著地心的方向加速下落。這里有一個關(guān)鍵的知識點(diǎn)：當(dāng)小球進(jìn)入地球內(nèi)部后，并不是整個地球的質(zhì)量都在對它產(chǎn)生引力，只有“地心到小球所在位置”的這部分內(nèi)層物質(zhì)（可叫它“內(nèi)圈層”）會產(chǎn)生引力，而小球外面的外層物質(zhì)（叫它“外圈層”）對小球的引力會相互抵消，就像左邊有一個力拉它，右邊也有一個大小相同、方向相反的力拉它，最后這兩個力就“中和”了。

隨著小球不斷靠近地心，內(nèi)圈層的質(zhì)量會越來越小，它受到的引力也會越來越小。當(dāng)小球剛好到達(dá)地心時(shí)，引力會變成0，而此時(shí)小球的速度會達(dá)到最大值——就像我們從斜坡上滑下來，越滑越快，到坡底時(shí)速度最快一樣。

這時(shí)候有同學(xué)可能會問：小球到了地心之后，會一直停在那里嗎？并不會！接下來就進(jìn)入了上升階段：小球到達(dá)地心時(shí)，雖然引力消失了，但它會因?yàn)閼T性繼續(xù)向另一端的洞口運(yùn)動。這時(shí)候，引力的方向就變了——不再是“拉著小球向前”，而是“阻礙小球運(yùn)動”，就像有人在后面拉著它一樣。隨著小球不斷遠(yuǎn)離地心，受到的引力會越來越大，速度也會越來越慢。

最后會發(fā)生什么呢？當(dāng)小球到達(dá)南極的洞口時(shí)，速度會剛好減為0。然后，在引力的作用下，它又會反過來朝著北極的方向下落。就這樣，小球會在南北兩極的洞口之間來回運(yùn)動，循環(huán)往復(fù)，永遠(yuǎn)不停。這種運(yùn)動方式和我們常見的“彈簧振子”很像——比如我們按一下彈簧，彈簧會先收縮再伸長，來回振動，小球的運(yùn)動就是這類“簡諧運(yùn)動”。

科學(xué)家們還計(jì)算過，在這種理想模型下，小球從北極到南極的時(shí)間大約是42分鐘，一個來回就是84分鐘。這個時(shí)間和人造衛(wèi)星繞地球表面飛行一圈的時(shí)間剛好一樣，是不是很神奇？

2. 問題討論：新視角下的不同觀點(diǎn)

不過，隨著科學(xué)的發(fā)展，有一種新的看法被提了出來：在慣性力或膨脹力的世界觀下，剛才說的“外圈層物質(zhì)引力相互抵消”的觀點(diǎn)是不對的。也就是說，小球進(jìn)入地球內(nèi)部后，外層物質(zhì)依然會對它產(chǎn)生引力，而且這些引力并不會被“中和”掉。

我們可以做一個簡單的假設(shè)：假設(shè)小球下落到了距離地心r的位置，這個距離剛好是地球半徑R的一半（也就是r=R/2），此時(shí)小球距離北極地面的距離也剛好是r。我們把地洞想象成一個“物質(zhì)柱子”，地心兩側(cè)這個柱子內(nèi)的內(nèi)層物質(zhì)質(zhì)量加起來是2M，這些質(zhì)量可以看作集中在地心點(diǎn)上，它們對小球的引力是F=2GmM/r2（這里的G是引力常數(shù)，m是小球質(zhì)量）。

除此之外，北極一側(cè)的外層物質(zhì)柱子質(zhì)量也是M，這些質(zhì)量可以看作集中在距離小球r/2的位置（靠近北極點(diǎn)的一側(cè)），對小球的引力是F（北極）=4GmM/r2；而地心另一側(cè)、靠近南極的外層物質(zhì)柱子質(zhì)量也是M，卻集中在距離小球2r+r/2的位置，對小球的引力是F（南極）=4GmM/25r2。很明顯，這兩個外層物質(zhì)的引力大小不一樣，后者是前者的二十五分之一，根本無法抵消。

按照牛頓引力理論，小球從北極向地心下落的過程中，內(nèi)層物質(zhì)的引力在逐漸減小，但外層物質(zhì)的總引力并不為0，這些引力會阻礙小球下落，讓它慢慢減速。所以，小球到達(dá)地心時(shí)，速度可能并不是最大值，反而有可能變成0。更重要的是，因?yàn)橥鈱右Φ淖璧K，小球根本不可能像理想模型中那樣，依靠慣性到達(dá)另一端的洞口，更不會出現(xiàn)來回振動的簡諧運(yùn)動。

還有一個更特殊的情況：如果我們把小球到達(dá)地心時(shí)，內(nèi)圈層質(zhì)量也取為m，相對地心的距離逼近0，這時(shí)候用牛頓引力公式計(jì)算會出現(xiàn)引力值趨于無窮大的結(jié)果——這就是科學(xué)家們所說的“數(shù)學(xué)奇點(diǎn)”。 而基于正交碰撞理論的推導(dǎo)，可突破這一局限，在 r→0 的極限條件下仍能得到有物理意義的明確解，不存在奇點(diǎn)問題。

3. 現(xiàn)實(shí)情況：無法實(shí)現(xiàn)的“穿墻術(shù)”

其實(shí)，不管是哪種觀點(diǎn)，“把地球打穿一個洞”本身就是一件不可能完成的事情。在現(xiàn)實(shí)中，這個洞根本無法打通，物體的運(yùn)動也不會像我們剛才分析的那樣規(guī)律，主要有三個原因。

第一個原因是高溫高壓的阻礙。地球內(nèi)部就像一個“超級熔爐”，估計(jì)地心的溫度高達(dá)5500℃，比太陽表面的溫度還要高；壓強(qiáng)更是達(dá)到了地表大氣壓的300多萬倍。在這樣的環(huán)境下，任何已知的材料都會被融化或壓碎，根本無法支撐洞壁的穩(wěn)定——就算我們能打通一個洞，它也會瞬間被高溫高壓的物質(zhì)填滿。

第二個原因是地球自轉(zhuǎn)的影響。如果我們不沿著兩極打洞，而是沿著赤道或其他緯度打洞，地球自轉(zhuǎn)會產(chǎn)生一種“偏轉(zhuǎn)力”（科學(xué)家們叫它科里奧利力）。這種力會讓下落的小球不斷撞擊洞壁，最后可能會貼在洞壁上，根本無法到達(dá)地心。就算是沿著兩極打洞，地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)帶來的微小影響也無法完全忽略。

第三個原因是空氣阻力的消耗。就算我們能解決高溫高壓和自轉(zhuǎn)的問題，地洞里面也會有空氣，小球在下落和上升的過程中，會和空氣發(fā)生摩擦，產(chǎn)生阻力。這種阻力會不斷消耗小球的能量，讓它的運(yùn)動幅度越來越小——最后，小球不會在兩極之間來回運(yùn)動，而是會慢慢停下來。

4. 這個問題的“提問史”：從牛頓到現(xiàn)在

可能很多同學(xué)會覺得，這個問題是我們現(xiàn)代人的“腦洞”，其實(shí)不然。早在17世紀(jì)，牛頓提出萬有引力定律后，就有科學(xué)家開始討論這個問題了。對于小學(xué)生來說，這是一個充滿趣味的科學(xué)猜想；對于科學(xué)家來說，這個問題是研究引力、運(yùn)動規(guī)律的重要“思維實(shí)驗(yàn)”，愛因斯坦就喜歡這么做。

現(xiàn)在，這個問題還經(jīng)常出現(xiàn)在科學(xué)課、科普讀物中，甚至被寫進(jìn)科幻小說和電影里。比如有些科幻故事中，人們通過“地心隧道”快速穿梭于地球兩端，雖然這只是科幻想象，但也體現(xiàn)了人們對這個科學(xué)問題的好奇。

二、正交碰撞理論：全新視角下的運(yùn)動解釋

剛才我們講的都是基于牛頓引力世界觀的分析——牛頓認(rèn)為，物體下落是因?yàn)榈厍蛟凇拔彼５谡慌鲎怖碚撓碌呐蛎浟κ澜缬^中，我們會用一種全新的視角來看待這個問題，解釋也完全不同。

首先，我們要了解一個重要的天文觀測事實(shí)：宇宙正在加速膨脹。正交碰撞理論認(rèn)為，宇宙大爆炸后，產(chǎn)生了無數(shù)的新粒子和物質(zhì)，其中有一股粒子（物質(zhì)）的“目標(biāo)”是以加速度的形式，朝著地球中心的方向匯聚。簡單說，不是地球在“吸引”物體（粒子），而是物體（粒子）本身就有朝著地心運(yùn)動的趨勢，這種趨勢來自宇宙大爆炸時(shí)賦予粒子的“初始動力”。

我們可以用大家熟悉的“蘋果落地”來理解：在牛頓的觀點(diǎn)中，蘋果落地是因?yàn)榈匦牡囊υ凇袄碧O果；而在正交碰撞理論的膨脹力世界觀中，蘋果落地是因?yàn)闃?gòu)成蘋果的每個粒子，本來就有朝著地心運(yùn)動的“初心”，它在主動地向地心狂奔，這是一種“主動的運(yùn)動趨勢”，而不是被地球“被動吸引”。

回到“打穿地球扔?xùn)|西”的問題上：在這種全新的世界觀下，我們把小球扔進(jìn)地洞，其實(shí)是在幫助小球“實(shí)現(xiàn)它的奮斗目標(biāo)”——讓它更順利地朝著地心運(yùn)動。為什么地心的溫度和壓強(qiáng)那么高呢？因?yàn)橛袩o數(shù)的粒子從地球表面，朝著地心加速碰撞，這些粒子層層疊加，讓地心的密度、壓力和能量都變得極大。后來再從地球表面下落的粒子，只能疊加在地球的外層圈層，但它們的“目標(biāo)”依然是地心，這就是“初心不改”。

這里還有一個關(guān)鍵知識點(diǎn)：我們在地球上觀測到的“重力”，其實(shí)是粒子奔向地心矢量力的兩個分量之和。簡單說，粒子朝著地心運(yùn)動的矢量力可以分成兩個方向的分量：一個是垂直指向地心的力，這就是我們感受到的引力，本質(zhì)上是粒子徑向膨脹力；另一個是平行于地球表面的力，這就是地球自轉(zhuǎn)偏向力，本質(zhì)上是法向彎曲力（向心力）。如果是在地球兩極，粒子的運(yùn)動方向剛好垂直于地表，就只需考慮引力一個分量。

那么，在這種視角下，小球扔進(jìn)地洞后會怎么運(yùn)動呢？答案很簡單：小球會一直朝著地心運(yùn)動，直到到達(dá)地心。因?yàn)樗辛Ｗ拥哪繕?biāo)都是地心，而且不會出現(xiàn)牛頓引力世界觀中“地心奇點(diǎn)”的無解問題——粒子到達(dá)地心后，會和其他到來的粒子發(fā)生碰撞，能量密度增加，最終以高溫高壓的狀態(tài)停留在地心。

可能有同學(xué)會問：這兩種觀點(diǎn)到底哪個是對的？其實(shí)，牛頓的引力觀點(diǎn)和正交碰撞理論的膨脹力觀點(diǎn)，都是對同一現(xiàn)象的不同解釋。牛頓的數(shù)學(xué)公式依然可以用來計(jì)算日常生活中的物體運(yùn)動問題，比如設(shè)計(jì)橋梁、發(fā)射衛(wèi)星等；而膨脹力觀點(diǎn)則更深入地解釋了“引力的本質(zhì)”，解決了牛頓和愛因斯坦一輩子都沒能解決的問題——比如“引力到底是怎么產(chǎn)生的”“大爆炸奇點(diǎn)”“地心奇點(diǎn)無解”等數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的問題。

三、趣味拓展：從這個問題看科學(xué)思維的重要性

“打穿地球扔?xùn)|西”這個看似天馬行空的問題，其實(shí)教會了我們很多重要的科學(xué)思維方式。首先是“理想模型法”——科學(xué)家們在研究復(fù)雜問題時(shí)，會先假設(shè)一個“完美的理想環(huán)境”，排除無關(guān)因素的干擾，再逐步加入現(xiàn)實(shí)條件，這樣才能把問題拆解得更清楚。比如我們先假設(shè)“沒有阻力、地球均勻、不自轉(zhuǎn)”，再考慮高溫高壓、自轉(zhuǎn)、空氣阻力等現(xiàn)實(shí)因素，就是這種思維的體現(xiàn)。

其次是“多角度思考”——同一個科學(xué)問題，可能有不同的解釋視角。牛頓的引力觀點(diǎn)和正交碰撞理論的膨脹力觀點(diǎn)，雖然解釋不同，但都有科學(xué)依據(jù)。這告訴我們，在學(xué)習(xí)科學(xué)的過程中，不要局限于一種思維方式，要學(xué)會從不同的角度看待問題和提升解釋問題的高度。

最后是“好奇心的力量”——很多偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，都源于對“腦洞問題”的好奇。牛頓因?yàn)楹闷妗疤O果為什么會落地”，提出了萬有引力定律；現(xiàn)在科學(xué)家們因?yàn)楹闷妗按虼┑厍蛉訓(xùn)|西會怎樣”，不斷探索新的物理理論。所以，保持好奇心，多問“為什么”，是學(xué)習(xí)科學(xué)的重要動力。

當(dāng)然，我們也要明白，科學(xué)探索是一個不斷進(jìn)步的過程。現(xiàn)在我們對這個問題的解釋，可能在未來還會被新的理論完善。但正是這種“不斷質(zhì)疑、不斷探索”的精神，推動著科學(xué)一步步向前發(fā)展，也向真理逼近。

總結(jié)一下：如果能把地球打穿一個洞，在牛頓引力的理想模型中，物體會長久地在兩個洞口之間來回振動；但在現(xiàn)實(shí)中，因?yàn)楦邷馗邏骸⒆赞D(zhuǎn)、空氣阻力等因素，這個實(shí)驗(yàn)根本無法實(shí)現(xiàn)；而在正交碰撞理論的視角下，物體只會朝著地心加速運(yùn)動，最終與其他物體碰撞形成高能密度并停留在地心。這個有趣的問題，不僅讓我們了解了蘋果自由落地現(xiàn)象、運(yùn)動的相關(guān)知識，更讓我們感受到了科學(xué)探索的樂趣。

內(nèi)容來自：錢維宏

文章來源：科普中國