中考數學：兩點間距離最小值計算應用解析

中考數學：兩點間距離最小值計算應用解析

主要內容:

█已知兩點其中一點含有參數情形:例題：已知平面直角坐標系上有兩點，點U(8,23)與點T(q,q+23)，則UT的最小值為多少？

█已知兩點都含有參數情形:例題：已知平面直角坐標系內有兩點，點E(6,b)與點F(b+3,65)，則EF的最小值為多少？

█已知兩點過拋物線情形:例題：已知點A(b,y?)與點B(b+14,y?)在拋物線y=x2/4的圖像上，且-9≤b≤9，則線段AB長的最大值、最小值分別是多少？

█已知兩點過反比例函數情形:例題：在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數y=34/x的圖像交于點G，H兩點，則直線GH長的最小值多少？

詳細過程：

█已知兩點其中一點含有參數情形

例題1：已知平面直角坐標系上有兩點，點U(8,23)與點T(q,q+23)，則UT的最小值為多少？

解：本例子中，U,T兩個點中，其中一個點含有未知數，

根據兩點間公式，有：

UT=√[(q-8)2+(q+23-23)2],

=√[(q-8)2+q2],

=√[2(q-4)2+32],

可知當q=4時，UT有最小值，即：

UTmin=√(0+32)=4√2.

█已知兩點都含有參數情形

例題2：已知平面直角坐標系內有兩點，點E(6,b)與點F(b+3,65)，則EF的最小值為多少？

解：根據兩點間公式，有：

EF=√[(6-b-3)2+(b-65)2],

=√[(b+3)2+( b-65)2],

=√[2(b-31)2+2312],

同理，根式內部看成b的一元二次方程，可知當b=31時，EF有最小值，此時最小值為：

EF=√(0+2312)=34√2.

█已知兩點過拋物線情形

例題3：已知點A(b,y?)與點B(b+14,y?)在拋物線y= x2/4的圖像上，且-9≤b≤9，則線段AB長的最大值、最小值分別是多少？

解：根據兩點間公式，有：

AB=√[(b+14-b)2+( y?-y?)2],

=√[(142+( y?-y?)2].

由于兩點在拋物線上，則：

y?-y?=(1/4)[(b+14)2-b2]=(1/4) (2*14b+142),

此時AB=√[142+(1/4)2(2*14b+142)2]

=14√[1+(1/4)2(2b+14)2],

=(7/2)√[42+(2b+14)2]，則有：

當2b=-14時，有ABmin=14.

當b=9時，有：

ABmax=(7/2)√[42+(2*9+14)2]

=14√65.

█已知兩點過反比例函數情形

例題4：在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數y=34/x的圖像交于點G，H兩點，則直線GH長的最小值多少？

解：設G (t, 34/t)，根據交點的對稱性可知，H (-t,-34/t)，

由兩點距離公式有：

GH=√[(t+t)2+(34/t+34/t)2]

=√(4*t2+4*342/t2)

=2√(t2+342/t2)

≥2√(2*34)=4√17.

知識點：本題反比例函數圖像在第一、三象限，過原點的直線為正比例函數，則與反比例函數的交點必在第一象限和第三象限，且這兩個點的橫、縱坐標分別互為相反數。