雨傘的數學知識——AMS美國數學會專欄

下次遇上瓢潑大雨，當你緊緊攥著雨傘，仿佛它是你最珍貴的寶貝時，不妨抬頭看看，發現藏在這把傘之上的數學之美。

作者：杰西卡·西德曼（Jessica Sidman，阿默斯特學院）、奧黛麗·圣約翰（Audrey St. John，曼荷蓮女子學院）2025-9-1

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-3-9

一把雨傘，如何從折疊后的近似線段形態，變身為能為你遮風擋雨的便攜防護工具？剛性理論（rigidity theory）結合微積分、線性代數與組合數學的思想，為分析雨傘這類結構提供了理論框架。令人意想不到的是，這一理論還能應用于非物理結構的研究，比如傳感器網絡定位、統計學中極大似然閾值的計算等領域。

作為研究人員，我們在生活中隨處可見剛性理論的應用，下文將為大家介紹其中幾類實例。

日常使用的雨傘、埃菲爾鐵塔、自由科學中心的霍伯曼球 https://lsc.org/explore/exhibitions/hoberman-sphere ，這些物理結構都能借助剛性理論展開分析。

作為教育工作者，我們十分認可剛性理論為學生展現數學力量的價值。將本科低年級課程中的核心內容（微積分與線性代數）與實際物理應用結合，能幫助學生建立知識融合的直覺——畢竟在常規的課程學習中，這些知識往往是相互割裂的。接下來，我們將通過一個看似簡單、實則蘊含復雜特性的小例子展開探討，這一結構也作為子結構出現在諸多現實設計中，希望能讓大家感受到數學與實際的聯結。

從一把雨傘中，我們能學到什么？

仔細觀察雨傘會發現，盡管它的整體設計是三維的，但其核心框架由多個二維子框架構成。這一設計原理也廣泛應用于各類由桿件和鉸接點組成的現實結構中，比如折疊椅、帳篷支架、剪式升降臺等。接下來，我們將聚焦于平面框架的研究，這類框架中的桿件通過旋轉關節連接在端點處。

雨傘的橫截面，揭示了控制其開合的核心結構：由四根定長桿件通過旋轉關節連接形成的環形結構，我們將其稱為四桿框架。

四桿框架是雨傘實現開合的關鍵。

雨傘打開時，1號鉸接點保持固定，3號鉸接點向上滑動，帶動2號和4號鉸接點相互分離；將3號鉸接點鎖定后，其與1號鉸接點的距離固定，雨傘便會保持剛性形態，無法隨意開合。

雨傘開合的過程中，四桿框架處于可活動的柔性狀態；而鎖定鉸接點的操作，相當于為其增加了第五根桿件，此時的框架由兩個拼接的三角形構成。憑借物理直覺我們能知道，由三角形拼接而成的框架具有剛性。

這一現象引出了更具普遍性的問題：如何設計出符合預期運動方式的框架？框架的剛性由什么決定？我們可以構建怎樣的數學體系，來判斷一個框架是否具有剛性？

僅靠四根桿件，能實現哪些功能？

數百年來，工程師們早已發現，四桿框架能展現出豐富且實用的運動特性。例如，通過電機的旋轉運動轉化出直線運動，就是一個研究十分成熟的方向。下方的動態演示將展示瓦特連桿和切比雪夫連桿如何實現這一轉化：在2號與3號鉸接點之間的桿件上取一點P，該點的運動軌跡近似為直線，我們將這一軌跡稱為連桿曲線（coupler curve）。

瓦特連桿、切比雪夫連桿均能實現近似直線的運動軌跡（觀察點P的軌跡）。

你或許會好奇，改變桿件的長度，還能得到哪些不同的連桿曲線？下方的圖形展示了幾種典型的可能性：

曲線形態各異，有的像側放的逗號，有的像倒置的淚滴，有的是挖去八字形的圓盤輪廓，還有的直接呈現出八字形。

改變四桿框架的桿件長度，可得到不同的連桿曲線。

框架背后的數學原理是什么？

在剛性理論中，框架（framework）的定義為：由有限個鉸接點（共n個）組成的集合，其中部分鉸接點之間由定長桿件連接，桿件的作用是固定鉸接點間的距離。若已知所有桿件的長度，想要分析框架的所有可能運動方式，合理的切入點是構建一組捕捉距離約束的二次方程組——每個鉸接點對應兩個未知坐標(x?, y?)，每根桿件則對應一個二次方程。

以邊長為3、4、5的直角三角形框架為例，該框架可推導出含6個未知量的3個方程：

(x? - x?)2 + (y? - y?)2 = 9

(x? - x?)2 + (y? - y?)2 = 16

(x? - x?)2 + (y? - y?)2 = 25

這一方程組的解集是三維的。下圖中，(a)為其中一個解，(b)是(a)經過平移得到的解，(c)是(a)經過平移和旋轉得到的解；而(d)同樣是方程組的解，卻無法通過平面內的平移或旋轉從(a)得到——它是原三角形的鏡像。事實上，該方程組的解集包含兩個分支，一個分支是(a)經過任意平移、旋轉得到的所有形態，另一個分支則是(d)經過任意平移、旋轉得到的所有形態。

圖：邊長為3、4、5的三角形框架對應的方程組的四個解。

我們能直觀感受到三角形框架的剛性，因此所有解的幾何形態都是相同的。那么，解集的三維特性又該如何從物理角度理解？在平面中，任何物體都存在平凡運動，即由兩個平移自由度（水平、豎直）和一個旋轉自由度共同構成的運動。若想排除平凡運動的干擾，可固定三個鉸接點的坐標來消去這些自由度，例如令(x?, y?)=(0,0)，x?=3，此時方程組簡化為：

9 + y?2 = 9

x?2 + y?2 = 16

(3 - x?)2 + (y? - y?)2 = 25

簡化后的方程組解集為零維，僅有兩個解，即上圖中的(a)和(d)。

接下來我們回到雨傘的四桿框架分析。假設框架中所有桿件的長度均為1，與三角形框架的分析方法一致，我們固定三個坐標以消去平凡運動：將1號鉸接點固定在(0,0)，并限制3號鉸接點沿y軸運動，最終得到的二次方程組解集為一維——這與我們的實際體驗相符，雨傘的開合恰好只有一個運動自由度！

事實上，僅利用高中代數知識，我們就能直接推導出四個鉸接點的運動軌跡：

(x?, y?) = (0, 0)

(x?, y?) = (-√(1 - t2/4), t/2)

(x?, y?) = (0, t)

(x?, y?) = (√(1 - t2/4), t/2)

其中參數t的取值范圍為-2 ≤ t ≤ -1。隨著參數t的變化，2、3、4號鉸接點將分別描繪出一條曲線，這與雨傘框架的動態開合過程完全一致。

但結合前文看到的復雜連桿曲線可以想象，對于任意結構的四桿框架，求解鉸接點的運動軌跡并非易事。一般來說，求解非線性方程組在計算和理論層面都極具挑戰性，這一問題也會進入代數幾何的研究范疇。那么，我們該尋找何種方法，才能構建分析框架的有效工具？

如何簡化分析？微積分與線性代數登場！

在數學研究中，面對復雜問題時，線性化是讓問題變得可解的常用手段。這一過程雖會損失部分信息，卻能借助線性代數的理論體系和計算效率實現問題簡化。對于學生而言，這一步往往會帶來恍然大悟的體驗：能清晰看到如何用微積分將復雜難題轉化為簡單問題，也能建立起抽象數學知識與具體物理問題的聯結。

假設鉸接點的坐標是關于時間的光滑函數x?(t)和y?(t)，我們就能利用隱函數求導和鏈式法則，對距離約束的二次方程組進行線性化。例如，若連接第i和第j個鉸接點的桿件長度為l??，則對應的二次方程為：

(x? - x?)2 + (y? - y?)2 = l??2

對等式兩邊關于時間t求導，可得：

d((x? - x?)2 + (y? - y?)2)) / dt = d(l??2) / dt

2(x? - x?)(??' - x?') + 2(y? - y?)(y?' - y?') = 0

即向量內積為0：

(x? - x?, y? - y?) ? (x?' - x?', y?' - y?') = 0

我們不再試圖求解描述鉸接點運動曲線的函數x?(t)和y?(t)，而是將研究重點轉向滿足上述線性方程的速度向量x?'(t)和y?'(t)。這一最終的點積方程還能賦予幾何解釋：從第j個鉸接點指向第i個鉸接點的向量，與兩個鉸接點的速度向量之差正交。這一幾何特征也與物理直覺一致：在任意瞬間，桿件的運動都不會使其被拉伸或壓縮。

在剛性理論中，上述齊次線性方程組的解被稱為無窮小運動（infinitesimal motion）；而將所有線性化后的方程整合，可得到一個m × 2n的矩陣，即剛性矩陣（rigidity matrix）。剛性矩陣中，每一行對應一根桿件，每兩列對應一個鉸接點的橫、縱坐標。對于鉸接點的一組固定坐標，剛性矩陣的所有元素均為實數。

以邊長為3、4、5的三角形框架為例，若其鉸接點分別位于坐標原點、x軸正方向和y軸正方向，那么該框架的剛性矩陣列依次對應x?, y?, x?, y?, x?, y?，矩陣形式為：

這一線性化過程，將問題轉化為大學二年級數學專業學生所能掌握的知識范疇。我們也十分樂于為線性代數中抽象的概念賦予物理意義——這些概念對初學者而言，往往是難以理解的。剛性矩陣的零空間在運動學中對應著所有的無窮小運動，而其行空間在靜力學中則對應著所有能使框架保持平衡的鉸接點作用力（因篇幅有限，這一結論的推導不再展開）。

借助線性代數，我們能深入分析框架的無窮小運動空間。例如，上述三角形框架的剛性矩陣R，其零空間的一組基為：

這3個向量分別對應著平面中的平凡無窮小運動：水平平移、豎直平移和旋轉。

圖：平凡無窮小運動的三個向量，分別為(a)水平平移向量、(b)豎直平移向量、(c)旋轉向量。

再回到雨傘的四桿框架分析，假設其鉸接點坐標為(0,0)、(-√3/2, -1/2)、(√3/2, -1/2)、(0, -1)，可推導出對應的剛性矩陣及其零空間的一組基：

零空間基向量：

與三角形框架類似，前三個基向量對應著平移和旋轉的平凡運動，而最后一個基向量則對應著四桿框架開合時的非平凡無窮小運動。

圖：動態演示中，箭頭指示了雨傘框架開合時各鉸接點的運動方向。

四桿框架運動時的非平凡無窮小運動。

取參數t=-1的瞬間，鉸接點的速度向量分布如下圖所示：

你能清晰看到，由于1號鉸接點保持固定，2號和4號鉸接點的速度向量與各自連接1號鉸接點的桿件正交——這一特征再次印證了物理直覺：桿件的瞬時運動不會使其發生拉伸或收縮。對于兩端鉸接點均運動的桿件，其兩端的瞬時相對速度向量同樣與桿件正交（如下圖所示）。

下一步研究方向？組合數學登場！

剛性矩陣的元素分布具有鮮明的組合規律，這一點在任意三角形框架中都能體現。設三角形框架的鉸接點坐標為(x?, y?), (x?, y?), (x?, y?)，其剛性矩陣為：

矩陣中，每一行的非零元素僅出現在對應桿件兩端鉸接點的列位置上，這一特征表明組合數學在剛性理論中扮演著關鍵角色。事實上，對于鉸接點坐標的幾乎所有一般化選擇，三角形框架的剛性矩陣秩均為3；只有當三個鉸接點共線時，矩陣的秩才會小于3。

一個看似矛盾的現象由此產生：這種“扁平化的三角形”存在非平凡的無窮小運動，但其本身仍然具有剛性。這一現象也揭示了剛性理論的一個重要特點：組合數學的結論僅在一般化框架中與物理直覺一致。

圖：扁平化的三角形框架存在非平凡無窮小運動。

最后，為大家介紹剛性理論的一個核心結論，該結論由蓋林格（Geiringer）和拉曼（Laman）各自獨立證明：一般化極小剛性框架的組合特征（a combinatorial characterization of minimally rigid generic frameworks）。其中“極小剛性”指的是：框架恰好使用了保持剛性所需的最少桿件數量。對于含n個鉸接點的二維框架，要實現極小剛性需滿足兩個條件：

1. 桿件總數為2n-3；

2. 任意n' ≥ 2個鉸接點構成的子框架，其桿件數量不超過2n'-3。

有趣的是，這一結論無法直接推廣到三維空間。尋找三維剛性框架的組合特征，也成為了剛性理論中至今尚未解決的重大難題。如果讀者想要深入探索這一領域，不妨參考文末的相關資料！

原文參考資料

• Jack Graver, Counting on Frameworks: Mathematics to Aid the Design of Rigid Structures , Dolciani Math. Exp., 25, MAA, Washington D.C., 2001.

• Jack Graver, Brigitte Servatius, Herman Servatius, Combinatorial Rigidity Theory , Grad. Stud. Math., AMS, Providence, RI, 1993.

• Jessica Sidman and Audrey St. John. Frameworks in Motion: resources for learning rigidity theory. https://rigidity-theory.web.app

參考資料

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2025/09/01/grasping-the-math-thats-over-your-head/