時空對稱性與洛倫茲群——對稱之美初探 | 量子場論第五講

導語

集智學園聯合新加坡國立大學賈治安老師共同開設了，幫助復雜系統跨學科領域學習者、研究者系統掌握量子場論的核心概念和基本方法，以及其在高能物理和凝聚態物理中的典型應用。同時，課程還將探討量子場論的前沿與跨學科課題，例如量子反常、拓撲場論和廣義對稱性，以及量子場論在神經網絡、量子計算等方向的應用，來拓展學術視野。

作為系列課程的第五講，賈治安老師將以「時空對稱性與洛倫茲群——對稱之美初探」為題，本次分享目標為深入理解閔可夫斯基時空的幾何結構，掌握洛倫茲變換的數學性質，熟練使用相對論張量記號，建立對稱性分析的基礎。正式分享將于3月25日（周三）19:00-21:00進行。

主題：時空對稱性與洛倫茲群——對稱之美初探

課程目標

深入理解閔可夫斯基時空的幾何結構，掌握洛倫茲變換的數學性質，熟練使用相對論張量記號，建立對稱性分析的基礎。

課程要點

• 閔可夫斯基時空

• • 事件與四維坐標：

  • 度規張量：（或 (-, +, +, +）號差）

  • 時空間隔：

  • 類時、類光、類空間隔的物理意義

• Einstein求和約定與指標操作

• • 上下指標約定與自動求和

  • 指標升降：

  • 四維梯度：

  • d'Alembert算符：
    

• 洛倫茲變換

• • 定義：保持度規不變的線性變換

• • 洛倫茲群 O(1,3) 及其子群

  • 固有正時洛倫茲群 SO+(1,3)

• 洛倫茲變換的類型

• • 空間旋轉： SO(3) 子群

  • Boost（純洛倫茲變換）

  • 宇稱變換 P：(t,x) → (t, -x)

  • 時間反演 T：(t,x) → (-t,x)

• 四維矢量與張量

• • 四矢量的變換：

  • 洛倫茲標量（0階張量）、四矢量（1階張量）

  • 二階張量： ，如能動張量、電磁場張量

  • 張量的縮并與洛倫茲不變量構造

• 標量場的變換性質

• • 標量場的定義：

  • 或等價地：

  • Klein-Gordon方程的協變性驗證

  • 作用量的洛倫茲不變性

• 離散對稱性

• • 宇稱 P：空間反射的物理意義

  • 時間反演 T：運動反向

  • 電荷共軛 C：粒子 反粒子

  • CPT定理（簡介）

• 洛倫茲群的生成元

• • 轉動生成元 Ji 與 boost 生成元 Ki

  • Lie代數： 等

  • 旋量表示的預告

• 共形對稱性（簡介）

• 對稱性在機器學習領域的應用（簡介）

練習

• 證明洛倫茲變換保持時空間隔不變：s'2 = s2

• 推導沿 x 方向速度為 v 的 boost 矩陣的顯式形式

• 驗證 Klein-Gordon 方程在洛倫茲變換下保持形式不變

• 證明四動量 滿足

• 用四維形式重寫 Maxwell 方程組（電磁場張量 ）

本講與后續內容的聯系

洛倫茲對稱性是相對論場論的基石。下一講將通過 Noether 定理揭示對稱性與守恒律的深刻聯系，而旋量場（Dirac 場）的討論需要洛倫茲群的旋量表示。

系列課程推薦教材

• Tom Lancaster & Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur(Oxford University Press, 2014).

• Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell (Princeton University Press,2010).

• Michael E. Peskin & Daniel V. Schroeder., An Introduction to Quantum Field Theory(Addison-Wesley, 1995).

• Matthew D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model (CambridgeUniversity Press, 2013).

• Mark Srednicki, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 2007).

• Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vols. I, II, III (Cambridge UniversityPress, 1995–2000).

• Lewis H. Ryder, Quantum Field Theory, 2nd ed. (Cambridge University Press, 1sted, 1996).

• Pierre Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd ed. (Avalon Publishing 1997).

課程信息

課程主題：時空對稱性與洛倫茲群——對稱之美初探

課程時間：2026年3月25日（周三） 19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內通知）；集智學園網站錄播（3個工作日內上線）

課程主講人

賈治安（知乎：@也疏寒），個人網站：tqfter.github.io，新加坡國立大學Research Fellow，即將回國在高校從事科研工作。主要從事數學物理與理論物理領域研究，聚焦量子代數在量子場論、量子物態、量子信息與量子計算中的具體應用。近年研究重點為拓撲場論及其晶格實現（拓撲序），并圍繞場論與晶格框架下的廣義對稱性開展研究。同時，賈老師對高能物理、量子物質與量子信息科學的交叉和融合抱有濃厚興趣，尤其致力于運用量子信息方法研究量子場論與凝聚態體系。

課程適用對象

1. 對高等數學和量子力學有一定了解的本科生、研究生、高校教師研究員與愛好者

2. 對量子世界的復雜性感興趣的跨學科學習者

3. 希望在復雜科學領域遷移應用量子場論內容的研究者

4. 對邏輯、抽象思維和系統思維有興趣的公眾學習者

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學園網站錄播。本系列課程僅首節免費直播。

2. 課程周期：2026年2月11日-2026年5月6日，每周三晚19點-21點進行。

3. 課程定價：999元。

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5681?from=wechat

付費流程：

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

課程共創任務：課程字幕

為鼓勵學員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識傳播成果，并構建課程知識共建社群。為此，我們特別設立激勵機制，讓您的學習之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結束后，助教會于課程群內發布字幕共創任務。學員通過參與這些任務，不僅能加深對內容的理解，還可獲得積分獎勵。積分可兌換其他讀書會課程或實物獎品，助力您的持續成長。

后記

跨學科集智創新基金：

招募頂尖講師，生產高質內容

集智學園始終在圍繞復雜科學、人工智能搭建知識體系。我們深知，唯有根深方能葉茂。因此，在追逐前沿的同時，在最近3個月中，我們推出了拓撲學、線性代數、統計物理等硬核基礎課程，為社區學習者夯實關鍵根基。

量子場論是前沿，也是核心基礎，它代表人類對自然界基本規律理解的最深刻理論。其中重整化群、費曼圖等在復雜系統、人工智能研究中的重要方法，其實也都來源于此。

但是要講好量子場論門檻極高，既懂其物理深意又能關聯復雜系統的學者鳳毛麟角；且作為一門超硬核的基礎理論，其商業回報的不確定性往往讓普通課程開發望而卻步。

但難做的事，往往才更有價值。為了填補這塊關鍵的認知拼圖，集智學園創始人張江教授特別設立了“”，來懸賞招募優秀講師，確保社區成員獲得高質量內容。經過一系列的試講與篩選，我們與新加坡國立大學Research Fellow賈治安老師達成合作，讓這門來之不易的課程得以誕生。