湖南
關鍵洞察：偏導數連續是"最強條件"，但偏導數存在與連續性之間沒有必然聯系。
核心蘊含鏈 偏導數連續 ? 可微 ? 連續 ? 極限存在
定理：若 在點 的某鄰域內偏導數存在且連續，則 在該點可微。
反例1：連續但偏導數不存在
函數： 在 處
分析：
連續性： 當 ，故連續
偏導數：考察 該極限不存在（左右極限分別為 ）.
幾何意義：函數圖像在坐標軸方向形成"折痕"，不可光滑求導。
反例2：偏導數存在但不連續
函數： 在 處
分析：
偏導數存在，同理
連續性沿 路徑： ，與 有關, 極限不存在, 故不連續
可微性不連續必不可微
本質原因：偏導數僅沿坐標軸方向考察變化率，而連續性要求所有路徑趨近。該函數沿不同直線趨近時極限值不同。
反例3：可微但偏導數不連續
偏導數連續 ? 可微是單向的，其逆命題不成立：
函數： 在 處
驗證可微性：
故 在 可微，且 。
偏導數不連續： 當 時：
當 沿 軸時，第二項 振蕩無極限。
反例4：偏導數存在但不可微
函數： 在 處
分析：
偏導數： ，同理
不可微性：若可微，則應有
但沿 ：
幾何特征：曲面在原點形成"尖點"，類似 在一元情形。
反例5：沿任意方向方向導數存在，但不可微
定義： , 其中 是方向.
函數： 在 處
方向導數計算：對任意方向的方向導數都為 .
偏導數的存在性：偏導數不存在.
可微性：偏導數不存在故必不可微.
概念層次的記憶口訣
"偏導連續最強王，推出可微保連續；偏導存在別驕傲，連續可微都不保；可微能推方向導，反之未必要記牢。"幾何直觀對應
概念
幾何特征
連續
曲面無"洞"無"跳躍"
偏導存在
沿坐標軸方向有切線
可微
曲面光滑，存在切平面
偏導連續
切平面連續變化
方向導數存在
沿該方向有變化率
一元與多元的本質差異
一元函數：
可導 可微 連續
導數連續 函數光滑
二元函數：
偏導存在 連續（新增維度帶來路徑多樣性）
可微 偏導連續（振蕩可消去高階無窮小）
偏導數連續是可微充分非必要條件
可微是連續性與方向導數存在性的共同充分條件
偏導數存在是最弱條件之一，幾乎不能推出其他性質，但是可推出函數沿坐標軸方向的方向導數存在
判斷可微性的實用方法：先算偏導，再驗證極限
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