求I=∫94x^3/√(31-24x^2)dx的不定積分

主要內容：

本文根據分部積分法、三角換元法以及湊分法等方法，介紹不定積分I=∫94x^3/√(31-24x^2)dx的計算步驟。

解法一：

思路：根據分子分母的關系，直接變形化簡使用湊分法求得：

I=-∫(47/12)[x(31-24x^2)-31x]dx/√(31-24x^2)

=-(47/12)∫x(31-24x^2)dx/√(31-24x^2)+ (1457/12)∫xdx/√(31-24x^2)

=-(47/12)∫x√(31-24x^2)dx-(1457/1)*1/24^2∫d(31-24x^2)/√(31-24x^2)

=-(47/1)*1/24^2∫√(31-24x^2)d(31-24x^2)- (2914/1)*1/24^2√(31-24x^2)

=(94/3)*1/24^2√(31-24x^2)^3-(2914/1) *1/24^2*√(31-24x^2)+c

解法二：

思路：利用不定積分的分部積分方法求得：

I=94∫x^2*xdx/√(31-24x^2)

=-(47/24)∫x^2d(31-24x^2)/√(31-24x^2)

=-(47/24)∫x^2d√(31-24x^2)

=-(47/24)x^2√(31-24x^2)+(47/24) ∫√(31-24x^2)dx^2

=-(47/24)x^2√(31-24x^2)-(47/1)*1/24^2∫√(31-24x^2)d(31-24x^2)

=-(47/24)x^2√(31-24x^2)-(94/3)*1/24^2√(31-24x^2)^3+c

解法三：

思路：利用三角函數的代換關系，進行三角還原積分求得。

設x=√(31/24)sint，則cost=(1/√31)√(31-24x^2),此時：

I=(2914/24)*√(31/24)∫sin^3td[√(31/24)sint]/√(31-31sin^2t),

=94*(31/24)^2∫sin^3tcostdt/√31*cost,

=(2914√31/24^2)∫sin^3tdt,

=(2914√31/24^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(2914√31/24^2)∫sintdt-(2914√31/24^2)∫sintcos^2 tdt

=-(2914√31/24^2)cost+(2914√31/24^2)∫cos^2tdcost

=-(2914√31 /24^2)cost+(2914√31/3*24^2)cos^3t+c

=-(2914/24^2)√(31-24x^2)+(94/3)*(1/24^2)√(31-24x^2)^3+c.