金觀濤：破解概率之謎——大數(shù)定理與數(shù)學(xué)真實(shí)的邊界｜雙體實(shí)驗(yàn)室

大家好，我是船長(zhǎng)。

概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中充滿了“可能”、“偶然”和“不確定性”。那么，數(shù)學(xué)追求的“絕對(duì)真實(shí)”，在概率論這片看似混沌的領(lǐng)域是否依然適用？長(zhǎng)久以來(lái)，概率論因其與經(jīng)驗(yàn)的緊密聯(lián)系和對(duì)“隨機(jī)性”的擁抱，被許多數(shù)學(xué)家視為“非正統(tǒng)”，甚至希爾伯特在1900年也將概率論視作物理學(xué)（而非數(shù)學(xué)）的一部分。直至今天，概率論都不能有效地納入邏輯經(jīng)驗(yàn)論和分析哲學(xué)的數(shù)學(xué)觀。

而其實(shí)早在1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家安德雷·柯?tīng)柲缏宸蚓鸵呀?jīng)證明，概率論和其他數(shù)學(xué)分支一樣，也是建立在一組公理之上的符號(hào)系統(tǒng)。1713年，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利給出了大數(shù)定理的數(shù)學(xué)證明。大數(shù)定理是指，隨著拋硬幣的次數(shù)增多，該隨機(jī)事件（硬幣某一面朝上或朝下的次數(shù)趨于相同）發(fā)生的“可能性”越來(lái)越大。用數(shù)學(xué)公式表示，就是它占總“可能性空間”的比例趨于1，即其概率接近于1——這是一個(gè)關(guān)于“可能性空間”收斂的、嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定理，基于符號(hào)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)）的真實(shí)性而非經(jīng)驗(yàn)的真實(shí)性。

由此便可以探尋隨機(jī)事件的真實(shí)根基：雖然隨機(jī)過(guò)程不可預(yù)測(cè)，但“隨機(jī)事件整體”的結(jié)構(gòu)（如拋硬幣所有可能結(jié)果的集合）、隨機(jī)事件的結(jié)果（可通過(guò)受控觀察確證）、以及對(duì)結(jié)果的測(cè)量（測(cè)度）都分別對(duì)應(yīng)著普遍可重復(fù)受控實(shí)驗(yàn)的不同層面，因而都具有真實(shí)性。正是通過(guò)這三個(gè)層面與真實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)的牢固連接，概率論的公理系統(tǒng)得以建立并獲得其作為科學(xué)真實(shí)符號(hào)系統(tǒng)的地位。

圖：正態(tài)分布

破解概率之謎——大數(shù)定理與數(shù)學(xué)真實(shí)的邊界

文/金觀濤

大數(shù)定理：概率之謎

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，概率論和統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)是一個(gè)與一般數(shù)學(xué)不同但又極為重要的領(lǐng)域。那么，本編第二章對(duì)于數(shù)學(xué)真實(shí)的分析，是否適用于概率論和統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)呢？我們又該如何理解概率論和統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的真實(shí)性呢？

在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間中，數(shù)學(xué)家認(rèn)為概率與來(lái)自《幾何原本》的所有數(shù)學(xué)觀念都不同，甚至于離開(kāi)經(jīng)驗(yàn)，概率論是否為真都無(wú)法判定。直至19世紀(jì)末，概率論仍不是一門(mén)嚴(yán)格的學(xué)科。1900年，德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特在法國(guó)舉辦的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做了題為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的著名講演，他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢(shì)總結(jié)了23個(gè)問(wèn)題，其中第六個(gè)問(wèn)題是用數(shù)學(xué)的方式實(shí)現(xiàn)物理學(xué)的公理化，而處在首位的便是概率論和力學(xué)的公理化。概率論可以和數(shù)理邏輯甚至是抽象代數(shù)那樣，成為具有某種特定結(jié)構(gòu)（真實(shí)）的純符號(hào)系統(tǒng)嗎？表面上看來(lái)，這是不可能的。即便希爾伯特在1900年也將概率論視作物理學(xué)（而非數(shù)學(xué)）的一部分。

因此，概率論對(duì)20世紀(jì)哲學(xué)（特別是數(shù)學(xué)哲學(xué)）一直構(gòu)成巨大挑戰(zhàn)。關(guān)于什么是概率，邏輯經(jīng)驗(yàn)論和分析哲學(xué)存在兩種看法。一種是將其視為經(jīng)驗(yàn)研究，這方面的代表人物之一是德國(guó)哲學(xué)家漢斯·賴欣巴哈。他先將概率陳述視作“類”之間的關(guān)系，即“關(guān)于一個(gè)特定序列的一類元素的陳述之間的一般蘊(yùn)涵關(guān)系”。之后，他以頻率來(lái)定義概率，即“概率是在一個(gè)無(wú)限序列中頻率的極限”。這種解釋面臨的最大問(wèn)題在于，在經(jīng)驗(yàn)世界中，任何序列都是有限的。在這種情況下，我們不可能通過(guò)對(duì)經(jīng)驗(yàn)世界的觀察獲得有關(guān)“無(wú)限序列中頻率的極限”的信息。另一種主流看法以美國(guó)分析哲學(xué)家魯?shù)婪颉た柤{普為代表，其根據(jù)數(shù)學(xué)即邏輯的大前提，認(rèn)為概率是符號(hào)系統(tǒng)符合經(jīng)驗(yàn)的即“確證度”，故在認(rèn)識(shí)論上亦屬于邏輯范疇。卡爾納普的觀點(diǎn)存在兩個(gè)繞不過(guò)去的困難。第一，根據(jù)邏輯經(jīng)驗(yàn)論，只要符號(hào)系統(tǒng)符合（指涉）經(jīng)驗(yàn)對(duì)象，它就獲得經(jīng)驗(yàn)的真實(shí)性。任何一個(gè)隨機(jī)事件都可用一個(gè)符號(hào)串來(lái)表達(dá)，該符號(hào)串是符合經(jīng)驗(yàn)的，故不存在符號(hào)串的確證度問(wèn)題。為了建立符號(hào)系統(tǒng)的確證度，必須將概率論的研究對(duì)象限定在全稱陳述，或那些不是直接指涉經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的符號(hào)系統(tǒng)。然而，一旦做出這一限定，概率論就只涉及如何從單稱陳述得到全稱陳述，即歸納邏輯的一部分，而實(shí)際上概率論的研究范圍比歸納邏輯廣泛得多。第二，確證度的計(jì)算必須基于等概率事件的存在，概率論不能保證這一點(diǎn)。故直至今天，概率論都不能有效地納入邏輯經(jīng)驗(yàn)論和分析哲學(xué)的數(shù)學(xué)觀。

其實(shí)，正當(dāng)布爾巴基學(xué)派把各門(mén)數(shù)學(xué)建立在集合論之上時(shí)，概率論的基礎(chǔ)終于有了答案。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家安德雷·柯?tīng)柲缏宸蜃C明：概率論和其他數(shù)學(xué)分支一樣，也是建立在一組公理之上的符號(hào)系統(tǒng)。我認(rèn)為，概率論公理實(shí)為將對(duì)控制結(jié)果的不確定性（隨機(jī)事件）研究納入受控實(shí)驗(yàn)普遍可重復(fù)為真的結(jié)果。下面我以大數(shù)定理的發(fā)現(xiàn)來(lái)說(shuō)明如何用普遍可重復(fù)的受控實(shí)驗(yàn)來(lái)研究隨機(jī)事件（控制結(jié)果的不確定性）。

圖注：以特定擲單個(gè)骰子的過(guò)程來(lái)展示大數(shù)定律

所謂大數(shù)定理，是指在實(shí)驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)實(shí)驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率會(huì)接近它的概率。比如，我們拋一枚硬幣，硬幣落下后，某一面朝上是不確定的（即是隨機(jī)事件），能確定的只是硬幣某一面朝上或朝下的概率。所謂“朝上”或“朝下”的概率是指可能發(fā)生的事件（硬幣某一面朝上或朝下）在總可能性空間中所占的比例。因?yàn)榭偣仓挥杏矌拍骋幻娉匣虺聝煞N可能，它們是相同的。這樣，每一種占可能性空間的比例都是1/2，即某一面朝上和朝下的概率均為1/2。頻率是指若干次實(shí)驗(yàn)后，隨機(jī)事件發(fā)生數(shù)占實(shí)驗(yàn)總次數(shù)的比例。當(dāng)我們拋硬幣的次數(shù)足夠多，達(dá)到上萬(wàn)次、幾十萬(wàn)次甚至百萬(wàn)次時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)硬幣某一面朝上（或朝下）的次數(shù)約占實(shí)驗(yàn)總次數(shù)的1/2，也就是隨機(jī)事件的頻率似乎在“逼近”它的概率。

表面上看，“頻率逼近概率”出于經(jīng)驗(yàn)觀察，故一開(kāi)始大數(shù)定理被稱為“大數(shù)定律”。定律何來(lái)用于指來(lái)自經(jīng)驗(yàn)的法則，它和數(shù)學(xué)推出的定理是不同的。這樣，概率論似乎類似于物理學(xué)，也建立在經(jīng)驗(yàn)規(guī)律之上。然而，人們很快就發(fā)現(xiàn)將大數(shù)定理視為經(jīng)驗(yàn)定律是不能成立的。原因在于，即便重復(fù)再多次實(shí)驗(yàn)，硬幣某一面朝上（或朝下）的次數(shù)并不一定是實(shí)驗(yàn)總次數(shù)的一半。既然大數(shù)定理不是經(jīng)驗(yàn)觀察的結(jié)果，即當(dāng)實(shí)驗(yàn)的總次數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，“頻率一定逼近概率”在經(jīng)驗(yàn)上并不成立，那它又是什么意思？

圖：瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利

直至1713年，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利才給出了大數(shù)定理的數(shù)學(xué)證明。該證明是數(shù)學(xué)的，不需要經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)。從此以后，“大數(shù)定律”成為“大數(shù)定理”。伯努利的數(shù)學(xué)推理方式如下。還是以拋硬幣為例，每次硬幣正面朝上的概率為p（0

這里，伯努利根據(jù)排列組合從某一隨機(jī)事件A的概率算出另一隨機(jī)事件（A在n次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中發(fā)生k次）的概率。由此，可以進(jìn)一步用數(shù)學(xué)得出：當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，隨機(jī)事件A出現(xiàn)np次的概率會(huì)不斷接近1。表面上看，“大數(shù)定律”是指我們?cè)诮?jīng)驗(yàn)上觀察到隨機(jī)事件A的頻率逼近它的概率，伯努利則指出這是不成立的，因?yàn)樯鲜鲭S機(jī)事件并一定發(fā)生（即不是真的）。但根據(jù)排列組合，可以算出隨機(jī)事件頻率逼近其概率的“概率”，計(jì)算證明，隨著n趨向無(wú)窮大，隨機(jī)事件頻率逼近其概率的“概率”會(huì)越來(lái)越接近1。

準(zhǔn)確地講，μ是n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)，當(dāng)隨機(jī)事件A在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為p時(shí)，所謂隨機(jī)事件頻率逼近其概率是指對(duì)任意正數(shù)ε,存在如下公式：

上述公式顯示，大數(shù)定理是數(shù)學(xué)定理而非經(jīng)驗(yàn)定律。也就是說(shuō)，隨著拋硬幣的次數(shù)日益增多，硬幣某一面朝上（或朝下）的次數(shù)趨于相同并不是真實(shí)的事件，而是一種“可能性”。大數(shù)定理是指，隨著拋硬幣的次數(shù)增多，該隨機(jī)事件（硬幣某一面朝上或朝下的次數(shù)趨于相同）發(fā)生的“可能性”越來(lái)越大。用數(shù)學(xué)公式表示，就是它占總“可能性空間”的比例趨于1，即其概率接近于1。由此可見(jiàn)，概率論推出的大數(shù)定理本身是一個(gè)概率上成立之陳述，它之所以為真，只是因?yàn)槠浒l(fā)生的概率無(wú)限接近于1而已。

這一點(diǎn)可以用數(shù)學(xué)證明，基于如下兩個(gè)前提。第一，拋硬幣本身是一個(gè)無(wú)限可重復(fù)的實(shí)驗(yàn)，每一次硬幣某一面不是朝上就是朝下，只有兩種可能，這一點(diǎn)不會(huì)改變。這樣，可以把每次實(shí)驗(yàn)可能性空間的大小定為1，由此可以得到n次實(shí)驗(yàn)的總可能性空間的大小為1的n次方。第二，根據(jù)這兩起事件是等可能性的，我們可以算出每一個(gè)隨機(jī)事件序列（它亦是隨機(jī)事件）的概率。所謂隨機(jī)事件序列的概率，是隨機(jī)事件序列可能性占總可能性（可能性空間）的比例，該比例隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)增多而趨近于1。大數(shù)定理的成立，基于符號(hào)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)）的真實(shí)性而不是經(jīng)驗(yàn)的真實(shí)性！

圖：拋硬幣

隨機(jī)事件的符號(hào)表達(dá)及其真實(shí)性

讓我們來(lái)分析大數(shù)定理為符號(hào)（數(shù)學(xué)）真實(shí)性的根據(jù)。本書(shū)第一編第二章指出，數(shù)學(xué)是普遍可重復(fù)受控實(shí)驗(yàn)的符號(hào)結(jié)構(gòu)，規(guī)定數(shù)學(xué)各分支的公理實(shí)為受控實(shí)驗(yàn)各環(huán)節(jié)的細(xì)部結(jié)構(gòu)，以及它們普遍可重復(fù)的符號(hào)表達(dá)。受控實(shí)驗(yàn)的普遍可重復(fù)是一種結(jié)構(gòu)，其為真意味著該結(jié)構(gòu)是真的，它保證具有該結(jié)構(gòu)的符號(hào)系統(tǒng)也為真，這是數(shù)學(xué)作為純符號(hào)系統(tǒng)為真的根據(jù)。顯而易見(jiàn)，隨機(jī)事件不滿足普遍可重復(fù)性的要求。如果以受控實(shí)驗(yàn)（經(jīng)驗(yàn)）普遍可重復(fù)為真實(shí)性標(biāo)準(zhǔn)，隨機(jī)事件本身就不是真的，其符號(hào)表達(dá)當(dāng)然亦無(wú)真實(shí)性可言。

然而，我們明明知道隨機(jī)事件的存在，并可以用一個(gè)符號(hào)串來(lái)指涉它，說(shuō)其不是真的，這和人們的直覺(jué)矛盾。問(wèn)題出在什么地方呢？我仍用拋硬幣為例來(lái)分析其真實(shí)性。在拋硬幣實(shí)驗(yàn)中，就每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果（硬幣某一面朝上或朝下）而言，哪一種可能性實(shí)現(xiàn)是隨機(jī)的，不具備普遍可重復(fù)性？我們之所以覺(jué)得每一次實(shí)驗(yàn)都為真，是因?yàn)樵搶?shí)驗(yàn)的結(jié)果（硬幣某一面朝上或朝下）可以被一個(gè)普遍可重復(fù)的受控觀察（或?qū)嶒?yàn)）證明。然而，這里被證明為真的是拋硬幣的結(jié)果，而不是導(dǎo)致該結(jié)果的過(guò)程。

什么是導(dǎo)致隨機(jī)事件結(jié)果的過(guò)程？它是指我們拋硬幣的控制動(dòng)作導(dǎo)致硬幣某一面一定朝上（或朝下），它作為隨機(jī)事件本身，不具備普遍可重復(fù)性。我們覺(jué)得其為真是看到該隨機(jī)過(guò)程的結(jié)果即硬幣某一面朝上（或朝下），它是可能性的實(shí)現(xiàn)。對(duì)于這一結(jié)果的真實(shí)性，基于硬幣某一面朝上（或朝下）可以用一個(gè)普遍可重復(fù)的受控觀察（或?qū)嶒?yàn)）來(lái)證明。我們認(rèn)為隨機(jī)事件是真實(shí)的，這是用其結(jié)果來(lái)代替過(guò)程帶來(lái)的錯(cuò)覺(jué)，因?yàn)殡S機(jī)事件（可能性）實(shí)現(xiàn)后，它已經(jīng)不是隨機(jī)事件（可能性）了。

圖：隨機(jī)圖

既然拋硬幣的結(jié)果為真，那么規(guī)定結(jié)果的過(guò)程即隨機(jī)事件本身難道不是真的嗎？拋硬幣有兩種可能結(jié)果，即硬幣某一面朝上或朝下。我們通常所說(shuō)的拋硬幣過(guò)程，是指這兩種結(jié)果中必然有一種出現(xiàn)，而不是其中某一種一定出現(xiàn)。換言之，正因?yàn)槲覀円呀?jīng)把這兩者中的任何一個(gè)發(fā)生視為拋硬幣的過(guò)程，拋硬幣的過(guò)程作為某種控制活動(dòng)當(dāng)然是真的。因?yàn)檫@時(shí)拋硬幣已經(jīng)不是隨機(jī)事件，它是一個(gè)普遍可重復(fù)的受控實(shí)驗(yàn)！

通過(guò)上面的嚴(yán)格分析可以得出如下結(jié)論。首先，作為包含隨機(jī)事件所有可能結(jié)果之“隨機(jī)事件整體”對(duì)應(yīng)著一個(gè)控制活動(dòng)，它不是隨機(jī)事件，因?yàn)檫@一控制活動(dòng)是普遍可重復(fù)的，它必定是真的。我們可以用一個(gè)符號(hào)真實(shí)之公理來(lái)表達(dá)“隨機(jī)事件整體”。其次，隨機(jī)事件發(fā)生后，其結(jié)果對(duì)應(yīng)著普遍可重復(fù)的受控觀察或受控實(shí)驗(yàn)，故是真的。這促使隨機(jī)事件的符號(hào)表達(dá)成為可能。為什么？因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程和其結(jié)果一一對(duì)應(yīng)，當(dāng)我們用一個(gè)符號(hào)串指涉隨機(jī)過(guò)程的結(jié)果時(shí)，它也對(duì)應(yīng)著導(dǎo)致該結(jié)果的隨機(jī)過(guò)程。最后，正因?yàn)殡S機(jī)事件的結(jié)果是真實(shí)的，我們可以分析各個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)的另一些受控觀察和受控實(shí)驗(yàn)，研究它們之間的關(guān)系。如果這些關(guān)系是真實(shí)的，我們一定可以用另一組代表符號(hào)真實(shí)的公理表達(dá)它們，這就是隨機(jī)事件的概率。這樣，也就得到定義隨機(jī)事件概率的公理。它和“隨機(jī)事件整體”對(duì)應(yīng)的控制行動(dòng)的公理一樣，亦是受控實(shí)驗(yàn)普遍可重復(fù)的符號(hào)表達(dá)。

由此可見(jiàn)，雖然隨機(jī)事件本身不滿足受控實(shí)驗(yàn)普遍可重復(fù)的要求，不能將其真實(shí)性表達(dá)為普遍可重復(fù)受控實(shí)驗(yàn)的符號(hào)結(jié)構(gòu)，但它和普遍可重復(fù)的受控實(shí)驗(yàn)存在著如下三個(gè)割不斷的聯(lián)系。第一，隨機(jī)事件整體對(duì)應(yīng)著普遍可重復(fù)的受控實(shí)驗(yàn)。第二，隨機(jī)過(guò)程的結(jié)果可以用普遍可重復(fù)的受控觀察（實(shí)驗(yàn)）證明，我們用指涉其結(jié)果的符號(hào)串加上限定以準(zhǔn)確表達(dá)隨機(jī)事件，即用符號(hào)串指涉隨機(jī)事件是可行的。第三，當(dāng)隨機(jī)事件的結(jié)果對(duì)應(yīng)著測(cè)量時(shí)，測(cè)量也是普遍可重復(fù)的受控實(shí)驗(yàn)。這樣隨機(jī)事件本身雖不是真的（不對(duì)應(yīng)著普遍可重復(fù)的受控實(shí)驗(yàn)），但其結(jié)果的測(cè)量是普遍可重復(fù)的。也就是說(shuō)，只要隨機(jī)事件符號(hào)集可測(cè)，其測(cè)量結(jié)果即“測(cè)度”是真的。

正因?yàn)殡S機(jī)事件上述三個(gè)和普遍可重復(fù)的受控實(shí)驗(yàn)相連接的部分都對(duì)應(yīng)著真實(shí)的符號(hào)結(jié)構(gòu)，我們可以將隨機(jī)事件納入科學(xué)真實(shí)的研究，用這些相連接的部分之符號(hào)表達(dá)建立一個(gè)純粹的符號(hào)系統(tǒng)。該符號(hào)系統(tǒng)就是概率論的公理。它們和本編第二章數(shù)學(xué)系統(tǒng)滿足的公理系統(tǒng)不盡相同，但同樣是真實(shí)的。

本文系摘選自《真實(shí)與虛擬》一書(shū)第三章1-2節(jié)。為便于閱讀，部分段落做了拆分和刪減，推文標(biāo)題為編者所擬，學(xué)術(shù)討論請(qǐng)以原文為準(zhǔn)。文中部分配圖來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系公眾號(hào)后臺(tái)刪除。

《真實(shí)與虛擬》

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內(nèi)容編校：夢(mèng)丹

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