《人類科學技術史-247》數學家族（上）

數學家族（上）
1.數學家族的第一代兄弟

17世紀80年代末和90年代初，當牛頓和萊布尼茨為微積分發明的居先權發生爭議時，在大陸數學家中有兩個兄弟站出來熱烈地為萊布尼茨辯護，這就是貝努利數學家族的第一代貝努利兄弟：雅克.貝努利(1654-1705年）和約翰.貝努利(1667-1748)，人們通常稱他們為老貝努利兄弟。

貝努利兄弟生于瑞士巴塞爾的一個牧師家庭，他們都曾有過一段自學數學的經歷。

雅克曾根據他父親的意愿，最初在巴塞爾大學學神學，因為他的父親希望他將來能成為一個牧師。可是，雅克在法國、德國和荷蘭等國進行廣泛的旅行后，由于受到所結識的一些數學家的影響，對數學產生了興趣。從1670年以后，雅克即開始自學數學。當時，微積分尚未發表，雅克找來一些數學著作，開始研究人們當時極為關注的求曲線的切線等數學問題。在研究中，他主要研究了笛卡爾的《幾何》、華里斯的《無窮算術》、巴羅的《幾何講義》等著作。雅克也幾乎走到了獨立地發明微積分的邊緣。正在這時，萊布尼茨的微積分成果相繼發表，雅克對萊克尼茨極為敬佩，他前往德國，與萊布尼茨進行短期合作。1686年返回巴塞爾當上了巴塞爾大學的數學教授。

雅克的弟弟約翰，他的父親最初曾想讓他去經商，而他本人卻想去學醫。但此后不久，在哥哥的影響下，他也開始自學數學。從1695年起，約翰因其在數學上初露才華，被聘為荷蘭格羅寧根大學的數學教授。1705年，其兄不幸去世，約翰應聘返回瑞士，接替了他哥哥在巴塞爾大學的數學教授職位。

2.變分法與概率論基礎的奠定

雅克.貝努利對于當時數學的貢獻，主要在于奠定了變分法與概率論的基礎。

變分法所涉及的一些基本數學問題，即求極值的問題，可以追溯到古希臘數學發展時期。那時，阿基米德就曾證明，在給定的周長之間，所圍成的各種幾何圖形的面積，以圓形的面積為最大。在古代，極值問題不僅為一些著名數學家所關注，而且流行在一些民間的傳說中。在迦太基傳說中，就有一則求極值的數學故事：有人給戴多皇后一張牛皮，要她用這張牛皮圍出盡可能大的面積。戴多皇后把牛皮割成長條，然后用長條圍出一個半圓。這說明，求極值問題遠在古代已經引起了人們的關注。

進入17世紀后，由于力學和數學的發展，類似的數學問題又重被人們提出，在伽利略和萊布尼茨的有關著作中，都曾出現過類似的數學問題。

1696年，約翰向他的哥哥提出了6個數學難題，這些數學難題都不是用當時的數學方法能一下子解決得了的。其中有一個問題是這樣的：在給定的一根水平軸上畫出的所有半橢圓中，怎樣才能求一個半橢圓，使物體沿著它的凹面下滑時，所需要的時間最短。這一問題實際上就是求最速降線問題。用通常的數學術語來說，也就是求曲線，它能使最初為零的質點在重力作用下從起點沿曲線降到終點時，所需時間最短。

對于約翰提出的最速降線問題，雅克一時無法作出回答。此后經過三年多的努力，他終于從微積分中引出一種新方法，即是在求極值方法的基礎上，運用積分方法求出某一積分的極值。1697年12月，約翰在《博物雜志》上發表了他向雅克提出的數學問題。1700年，作為對約翰提出的問題的解答，雅克在《博物者學報》上發表了一篇著名的論文：《等周問題實解》。在文中，雅克除了討論最速降線問題之外，還討論了涉及到求極值的另一個重要問題：等周問題，即在一切具有定長的平面閉曲線中，求出一條圍成的面積最大的曲線。無論是等周問題，還是最速降線問題，都是微積分中求極值方法的運用和發展。文中還討論了求極值方法的一般原理與普遍方法。這樣，雅克就以微積分中的求極值方法這一基本數學問題為生長點，在微積分中開辟了變分法這一新的數學分支。

由于變分法的建立，不但推動了微積分本身的發展，而且初步奠定了力學和物理學中變分原理的數學基礎。這樣，雅克就把微積分從純粹數學與應用數學兩方面向前推進了一步。

雅克除了奠定變分法的基礎之外，在微積分的早期發展中，也曾取得一些類似于萊布尼茨的重要成果。1694年，雅克出版了《微分學方法，論反切線》這一重要論著。在書中，雅克對微積分的基本原理和方法進行了比較系統的研究，特別是推進了常微分方程與積分法的研究。這一著作在微積分的早期發展中產生過重要影響，并被一些數學史家譽為微積分的奠基作之一。

雅克對近代數學發展的另一個重要貢獻，是進一步奠定了概率論的基礎。

在雅克之前，概率論已有最初的萌芽。荷蘭科學家惠更斯1657年發表的《論機會游戲的演算》，可以算是近代數學史上最早的概率論著作。

雅克在1685-1690年間對概率論進行了研究。1685年，他在《博物雜志》上發表的一些論文中，重新提出了惠更斯在《論機會游戲的演算》中提出過的一些概率論問題：若甲乙兩人在賭博游戲中同擲一顆骰子，先擲出是么點的為勝。甲乙兩人開始各擲一次，然后各擲兩次，接著各擲三次，依此繼續下去，兩人獲勝的概率各有多少；或者，甲先擲一次，乙接著擲二次，甲擲三次，乙接著擲四次，兩人獲勝的概率又各有多少。通過提出這些問題，雅克開始了對概率論的研究。

1690年，雅克完成了賭博游戲中勝負概率的計算方法的研究，找到了以排列組合為基礎的一種普遍的數學方法。運用這一方法，可以確定某一事件的概率范圍，即使某個在多種機率中出現的事件概率無限地趨向這個已經確定的概率。這樣，雅克就找到了一種處理隨機現象的數學方法。自此之后，概率論也就從惠更斯所最初提出的一些基本問題，開始成為一門以隨機數學現象為基本研究對象的新的數學分支。

同年，雅克在《博物者學報》上發表了關于概率論的一些初步解答。后來，他又進一步總結了他在概率論方面的研究成果，完成了《猜測的藝術》這一早期概率論的奠基之作。在這一著作中，雅克比較詳盡地論述了以下問題：其一，概率論的基本問題；其二，排列與組合理論的研究；其三，機會和對策中的概率問題；其四，概率論在民間、道德和經濟問題等方面的實際應用。這樣，概率論也就由雅克的《猜測的藝術》的完成而奠定了初步的數學基礎。

雅克的《猜測的藝術》雖然直到1713年才出版，但他出版后，即對概率論的發展產生重要影響。不久以后，這一新的數學分支即成為人們極為關注的數學領域，新的著作相繼問世，新的成果不斷出現，直至19世紀成為科學研究中基本的數學方法。

雅克除了作為變分法與概率論的奠基人而聞名于近代數學史外，還在級數與解析幾何的研究中有過重要貢獻。在級數方面，雅克在1704年出版了《關于無窮級數及其有限和的算術運用》一書，推進了級數理論方面的研究。在解析幾何方面，雅克還在笛卡爾坐標的基礎上建立了極坐標。由于極坐標的建立，使得曲線及其方程的研究有了新的發展。

雅克是貝努利家族的第一個對近代數學產生重要影響的數學家。