學(xué)數(shù)學(xué)必知：圓周率 π 的歷史，從幾何推導(dǎo)到無窮級數(shù)革命

圓周率 π 的歷史溯源

圣經(jīng)里有一段不太為人熟知的經(jīng)文，是這么寫的：
“他又鑄了一個銅海，樣式是圓的，從這邊到那邊共十肘，高五肘，圍腰三十肘?！保ā读型跫o(jì)上》7:23）

這段內(nèi)容在《歷代志下》4:2 中也能找到，記載的是公元前 950 年左右建造所羅門圣殿時的計數(shù)規(guī)格。這里提到的圓周率 π 值是 3，顯然不算精確，即便放在當(dāng)時也不算——要知道更早之前，埃及人和巴比倫人就已經(jīng)算出了更接近真實值的結(jié)果：埃及人的 π 約為 ，巴比倫人的則是 。不過這里也要替所羅門的工匠們說句公道話，他們描述的“銅海”本就是某種巨大的銅器，這種大物件既不可能、也沒必要追求極高的幾何精度。

早期 π 值：從測量到理論

“圓的周長與直徑的比值是恒定的一個數(shù)”這個事實，人們早就知道了，具體起源已無從考證。最早的 π 值（包括圣經(jīng)里的 3），幾乎都是通過測量得到的。比如公元前 1650 年左右的埃及《萊因德數(shù)學(xué)紙草書》（Rhind Papyrus）中，就有充分證據(jù)表明當(dāng)時人們用 作為 π 的近似值。

而第一個通過理論計算得到 π 值的，大概是敘拉古的阿基米德（Archimedes of Syracuse，公元前 287-前 212 年）。他算出的結(jié)果是：

在簡單說說他的證明思路前，有個點值得注意：這里用到的不等式，其實暗含了相當(dāng)高的數(shù)學(xué)技巧。阿基米德很清楚——直到現(xiàn)在還有很多人不清楚——π 并不等于 ，他也從沒宣稱自己找到了 π 的精確值。如果我們?nèi)∷麅蓚€邊界值的平均值，得到的結(jié)果是 3.1418，誤差僅約 0.0002。

阿基米德的計算思路

假設(shè)有一個半徑為 1 的圓，在圓內(nèi)作一個邊數(shù)為 的正內(nèi)接多邊形，其半周長記為 ；再作一個同樣邊數(shù)的正外切多邊形，半周長記為 。（下面是 時的示意圖，即邊數(shù)為 12 的多邊形）

這種做法會定義出兩個序列：一個是遞增序列 ，另一個是遞減序列 ，而這兩個序列的極限都是 π。

用三角函數(shù)表示的話，這兩個半周長可以寫成：
，
其中 。同樣，下一個邊數(shù)（ ）的多邊形半周長滿足：
，

通過基礎(chǔ)三角函數(shù)運算，能推導(dǎo)出兩個關(guān)鍵關(guān)系式：

阿基米德從初始值 、 開始，先用公式(1)算出 ，再用公式(2)算出 ，接著又用(1)算 ，用(2)算 ，一直算到 和 。最終他得出結(jié)論： 。

這里要明白一點：我們剛才用三角函數(shù)描述，其實不符合歷史——阿基米德當(dāng)時沒有代數(shù)和三角函數(shù)符號，只能純靠幾何方法推導(dǎo)(1)和(2)；并且他連我們現(xiàn)在用的十進(jìn)制記數(shù)法都沒有，單靠公式(1)(2)計算 和 ，本身就不是件容易事。

咱們不該覺得 “他怎么咋算到 96 邊形就停了”，反而該驚嘆“居然能硬生生算到 96 邊形”—— 要知道在沒有任何現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具的情況下，這已經(jīng)是超了不起的成就了。

歷代數(shù)學(xué)家的 π 值探索

理論上，只要不斷增加多邊形邊數(shù)，就能算出更精確的 π 值。后來確實有不少人這么做，比如：

• 托勒密（約公元 150 年）：3.1416

• 祖沖之（430-501 年）： （約 3.1415929）

• 花拉子米（約公元 800 年）：3.1416

• 卡西（約 1430 年）：精確到 14 位小數(shù)

• 韋達(dá)（1540-1603 年）：9 位小數(shù)

• 魯曼（1561-1615 年）：17 位小數(shù)

• 范·塞倫（約 1600 年）：35 位小數(shù)

除了祖沖之，這些改進(jìn)都沒有理論上的突破，靠的只是更強的計算耐力。有意思的是，就像其他科學(xué)領(lǐng)域一樣，在公元 400 到 1400 年這一千年里，π 值計算的領(lǐng)先地位是從歐洲轉(zhuǎn)移到了東方。

花拉子米生活在巴格達(dá)，順便說一句，“算法（algorithm）”這個詞就源自他的名字，而他某本著作標(biāo)題里的“代數(shù)學(xué)（al jabr）”，則成了“代數(shù)（algebra）”一詞的來源。卡西生活的地方更靠東，在撒馬爾罕。

文藝復(fù)興后的 π 值公式革命

歐洲文藝復(fù)興最終帶來了全新的數(shù)學(xué)世界，其中一個早期成果就是出現(xiàn)了計算 π 的數(shù)學(xué)公式。最早的公式之一是沃利斯（1616-1703 年）提出的：

而最知名的公式之一，是這個無窮級數(shù)：

這個級數(shù)有時會歸功于萊布尼茨（1646-1716 年），但實際上最早是詹姆斯·格雷戈里（1638-1675 年）發(fā)現(xiàn)的。

這些公式既驚艷又出人意料——右邊都是純算術(shù)形式，而 π 最初是從幾何里來的。它們向我們展示了無窮過程能帶來多么驚人的結(jié)果，也為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵指明了方向。

不過從計算 π 值的角度看，這兩個公式其實沒什么用。比如格雷戈里級數(shù)，要想得到 4 位精確小數(shù)，誤差得小于 0.00005，這意味著需要約 10000 項才能做到。但格雷戈里還證明了一個更通用的結(jié)果：

只要令 ，就能得到前面那個 π 的級數(shù)。但如果利用 ，就能得到一個收斂快得多的級數(shù)：

這個級數(shù)的第 10 項是 ，小于 0.00005，也就是說，只需要 9 項就能得到至少 4 位精確小數(shù)。

還有個更好的辦法，是利用這個公式：

然后把 和 分別代入公式(3)，計算兩個級數(shù)的和就行。

顯然，如果能找到這樣的公式：

其中 和 都是大數(shù)，收斂速度會快得多。1706 年，馬青（Machin）就找到了這樣一個公式：

其實只要會證明公式(4)，證明(5)也沒什么額外難度，就是計算過程麻煩點。當(dāng)然，能想出這個公式本身，就是另一回事了。

計算 π 的“執(zhí)念”與錯誤

有了這樣的公式，計算 π 的唯一難點就只剩過程的枯燥了。不用說，還真有人愿意花大量時間和精力在這種單調(diào)又無用的追求上。其中一位是英國的尚克斯（Shanks），他用梅欽公式算出了 π 的 707 位小數(shù)，并在 1873 年發(fā)表了自己多年的計算成果。尚克斯能留名，原因還挺特別，我們馬上就會說到。

先看看 π 值計算精度的提升歷程：

• 1699 年：夏普用格雷戈里的成果算出 71 位精確小數(shù)

• 1701 年：梅欽用改進(jìn)方法算出 100 位，后來的人也沿用他的思路：

• 1719 年：德拉尼算出 112 位精確小數(shù)

• 1789 年：維加算出 126 位，1794 年又算到 136 位

• 1841 年：盧瑟福算出 152 位，1853 年算到 440 位

• 1873 年：尚克斯算出 707 位，但其中只有前 527 位是對的

尚克斯知道 π 是無理數(shù)（irrational number），因為蘭伯特（Lambert）早在 1761 年就證明了這一點。就在尚克斯完成計算后不久，林德曼（Lindemann）證明了 π 是超越數(shù)（transcendental number）——也就是說，π 不是任何整系數(shù)多項式方程的解。其實林德曼的這個結(jié)果，也證明了“化圓為方”是不可能的：既然 π 是超越數(shù)，就不可能用尺規(guī)作圖畫出一個和給定圓面積相等的正方形。

尚克斯的計算結(jié)果公布后沒多久，德摩根（De Morgan）就發(fā)現(xiàn)了一個奇怪的統(tǒng)計現(xiàn)象：在這 707 位小數(shù)里，數(shù)字 7 出現(xiàn)的次數(shù)異常少。他在 1872 年的《悖論集錦》里提到了這一點，但這個疑問一直懸到 1945 年才解開——弗格森（Ferguson）發(fā)現(xiàn)尚克斯在第 528 位小數(shù)處算錯了，后面的所有數(shù)字自然也都錯了。1949 年，人們用計算機算出了 π 的 2000 位小數(shù)。在這次及之后所有計算機算出的結(jié)果里，數(shù)字 7 的出現(xiàn)次數(shù)都和預(yù)期差不多，而且到目前為止，π 的小數(shù)序列通過了所有隨機性統(tǒng)計測試。

π 符號的由來

我們得說說 π 這個符號是怎么來的。1647 年，奧特雷德（Oughtred）用“ ”表示圓的直徑與周長的比值；1697 年，大衛(wèi)·格雷戈里（David Gregory）用“ ”表示圓的周長與半徑的比值。而第一個用 π 表示現(xiàn)在這個含義（周長與直徑的比值）的，是威爾士數(shù)學(xué)家威廉·瓊斯（William Jones）——1706 年，他在著作中寫道“3.14159 等等= ”。1737 年，歐拉（Euler）采用了這個符號，之后 π 很快成為標(biāo)準(zhǔn)表示法。

關(guān)于 π 的趣味歷史

最后，我們再說說 π 值計算過程中兩個有趣的統(tǒng)計故事，首先是布豐投針實驗（Buffon's needle experiment）。如果有一組等距的平行直線（間距為 1），把一根長度 的針隨機扔到這組直線上，針與直線相交的概率是 。有不少人試著用這種方法算 π，其中最出名的是拉澤里尼（Lazzerini）在 1901 年的實驗——他扔了 34080 次針，算出

巧合的是，這個值正是祖沖之算出的結(jié)果。這個結(jié)果準(zhǔn)得有點可疑，而“34080 次”這個奇怪的次數(shù)也暴露了問題?？系聽枺↘endall）和莫蘭（Moran）指出，只要在“最佳時機”停止實驗，就能得到一個理想值；但如果事先定好扔針次數(shù)，這種方法算 π 其實非常不準(zhǔn)。他們還調(diào)侃說，不如找一塊圓形木頭，用卷尺量它的周長和直徑，結(jié)果會更準(zhǔn)。

說到“可疑實驗”，格里奇曼（Gridgeman）在一篇嘲諷拉澤里尼等人的論文里，還搞了個有趣的惡作?。核x了一根長度 的針，扔了兩次，有一次和直線相交，然后根據(jù)公式計算：

算出 ，這個結(jié)果看起來還挺可信——當(dāng)然，他根本沒當(dāng)真。

π 引發(fā)的爭議與鬧劇

1934 年，居然有人以 π 的定義為借口，對著名數(shù)學(xué)家埃德蒙·蘭道（Edmund Landau）發(fā)起了種族攻擊，這事聽起來簡直難以置信。那一年，蘭道在哥廷根出版的教材里，用了現(xiàn)在相當(dāng)常見的方法定義 π： 是 1 到 2 之間使 的 值。這個定義引發(fā)了一場學(xué)術(shù)爭議，最終導(dǎo)致蘭道被免去哥廷根大學(xué)的教授職位。

比貝爾巴赫（Bieberbach）雖然是一位知名數(shù)論學(xué)家，但本人的種族主義觀點讓其聲名狼藉，他試圖這樣解釋免職蘭道的原因：
“哥廷根學(xué)生群體勇敢地反對偉大數(shù)學(xué)家埃德蒙·蘭道，歸根結(jié)底是因為這個人在研究和教學(xué)中‘非德國式’的風(fēng)格，讓德國人無法忍受。一個民族既然意識到另一個種族正試圖強加外來思想，就必須拒絕接受異文化的教師?！?/p>

G·H·哈代（G·H·Hardy）立刻在一篇公開評論中反駁比貝爾巴赫，針對這種“非德國式 π 定義”的說法：
“我們中有很多人，無論是英國人還是德國人，在戰(zhàn)爭期間都說過一些言不由衷、現(xiàn)在回想起來會后悔的話。為了自己的地位焦慮，害怕跟不上愚蠢的潮流，不顧一切想不被落下，這些理由或許情有可原，哪怕不算英勇。但比貝爾巴赫教授的聲望，讓這些理由無法解釋他的言論——我只能得出一個不太善意的結(jié)論：他是真的相信這些話?！?/p>

不光德國因為 π 出了問題，美國也曾因為 π 的取值引發(fā)過激烈的政治爭論。1897 年，印第安納州眾議院全票通過了一項法案，宣稱要確立一個“新的數(shù)學(xué)真理”：
“印第安納州議會頒布法令：經(jīng)發(fā)現(xiàn)，圓的面積與‘等于圓周長四分之一的線段所構(gòu)成的正方形’的面積之比，等于矩形（這里實指正方形）的面積與其一邊構(gòu)成的正方形的面積之比。”（1897 年《印第安納州眾議院第 246 號法案》第一節(jié)）

還好印第安納州參議院更理智，把這項法案無限期擱置了！

關(guān)于 π 的開放問題

1. 數(shù)字 0-9 在 π 的小數(shù)展開中，是否每個都出現(xiàn)無窮多次？

2. 布勞威爾的問題：π 的小數(shù)展開中，是否存在某一處連續(xù)出現(xiàn) 1000 個 0？

3. π 在十進(jìn)制下是“簡單正規(guī)數(shù)”嗎？也就是說，長期來看，每個數(shù)字出現(xiàn)的頻率是否相等？

4. π 在十進(jìn)制下是“正規(guī)數(shù)”嗎？也就是說，長期來看，任意長度的數(shù)字塊出現(xiàn)的頻率是否相等？

5. π 是“絕對正規(guī)數(shù)”嗎？也就是說，長期來看，在任意進(jìn)制下，任意長度的數(shù)字塊出現(xiàn)的頻率是否相等？這個概念是博雷爾（Borel）在 1909 年提出的。

6. 另一個關(guān)于正規(guī)性的問題：我們知道 π 不是有理數(shù)，所以它的小數(shù)不會從某一處開始循環(huán)。但如果 π 是正規(guī)數(shù)，那么“314159265358979…”這前 100 萬位數(shù)字，總會在某個位置再次出現(xiàn)；即便 π 不是正規(guī)數(shù)，這種情況也可能發(fā)生。事實果真如此嗎？如果是，會從哪一位開始？（注：截至 2000 萬位小數(shù)，出現(xiàn)過的最長匹配是“31415926”，出現(xiàn)過兩次）

最后給大家一個記憶 π 小數(shù)展開的口訣——每個單詞的字母數(shù)，對應(yīng) π 的一位小數(shù)：
“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard...”（中文大意：聽了量子力學(xué)的沉重講座后，我多想來杯酒，當(dāng)然是含酒精的。普朗克先生，你的幾何課實在太難了……）

對應(yīng)的 π 值是：

本文譯自 MacTutor 網(wǎng)站，作者 J J O'Connor and E F Robertson。原文除另有標(biāo)注外遵循 CC BY-SA 4.0 國際許可協(xié)議。翻譯：【遇見數(shù)學(xué)】，譯文繼承原協(xié)議：可自由復(fù)制、改編，但需標(biāo)注原文來源、作者及本譯文；改編后分享需采用同類許可。

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