題目[2026考研數(shù)學(xué)一第3題]: 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義,則( ).
(A) 當(dāng) 在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增時, 為極小值
(B)當(dāng) 是極小值時, 在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增
(C)當(dāng) 的圖形在 上是凹的時, 在 上單調(diào)遞增
(D)當(dāng) 在 上單調(diào)遞增時, 的圖形在 上是凹的
對于這個題目,一些網(wǎng)絡(luò)上給出的選項是(D),下面咱們分析一下,看看這個選擇題到底選哪個選項是正確的!
參考分析:題目僅給出 有定義,未說明連續(xù)性:
(A):反例 此時 在 遞減, 遞增,但 是孤立點且為局部極大值。故選項(A)錯誤。
(B):極值點不一定是單調(diào)區(qū)間的分界點. 反例
當(dāng) , , 是極小值,但在 的任意鄰域內(nèi)函數(shù)振蕩,不具有單調(diào)性。故(B)錯誤。
(C):當(dāng) 的圖形在 上是凹的時, 在 上單調(diào)遞增. 這是凹曲線(凸函數(shù))的一個基本幾何性質(zhì),通常稱為三弦引理的推論. 即
若 是定義在區(qū)間 上的凸函數(shù),對于任意的三個點 ,記
是函數(shù)圖像上的三個點, 是線段 的斜率, 是線段 的斜率, 是線段 的斜率, 則 , 即
幾何直觀:對于一個下凸(凹)的曲線(形狀像碗),若固定右端點 ,讓左邊的動點 逐漸向右移動(即 增大),那么連接動點 和固定點 的割線斜率會越來越大.
數(shù)學(xué)推導(dǎo):設(shè) 在區(qū)間 上是曲線圖形是凹的(凸函數(shù)), 根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì),對于 ,有如下斜率不等式:
在本題中,令 為固定右端點, 令 ,這是點 與 的連線斜率. 對于任意 ,由于 的曲線是凹的,根據(jù)凸函數(shù)性質(zhì)可得
即 . 因此,斜率函數(shù) 是單調(diào)遞增的.
選項 (D):當(dāng) 在 上單調(diào)遞增時, 的圖形在 上是凹的. 這是一個充分性命題, 僅僅保證動點與右端點連線的斜率單調(diào)遞增,并不能保證曲線在整個區(qū)間內(nèi)每一點的二階導(dǎo)數(shù)都大于等于0(即不能排除局部有“鼓起”的情況).
反例構(gòu)造:構(gòu)造一個函數(shù) ,使得它與點 的連線斜率 是單調(diào)遞增的,但函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)某處是上凸的.
設(shè) ,定義斜率函數(shù)為 , 當(dāng)取 時, 在 上單調(diào)增加, 則由 可解得 . 計算該函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù),得
由此可知 在 內(nèi)為正, 在 內(nèi)為負(fù),在 內(nèi)為正, 故 在 內(nèi)為凸曲線,并非在整個定義域上都是凹曲線. 所以選項 (D) 錯誤.
【注】:對于凹凸曲線的函數(shù)這些性質(zhì)的討論是考研中的一個重點,出現(xiàn)的頻率相對比較高,比如去年也是此類問題,而且是一個大題。對于這類抽象題的思路一般也具有通用性,很多時候都是基于上面提到的三弦引理。所以對于三弦引理的結(jié)論不僅要記住,而且要能夠證明。更多相關(guān)類型的典型題和高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析綜合提高專題訓(xùn)練可以查閱。
以上分析是否正確、嚴(yán)謹(jǐn)
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