這個2026年的全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)題為什么選C而不是D？

題目[2026考研數(shù)學(xué)一第3題]: 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，則( ).

(A) 當(dāng) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增時， 為極小值

(B)當(dāng) 是極小值時， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增

(C)當(dāng) 的圖形在 上是凹的時， 在 上單調(diào)遞增

(D)當(dāng) 在 上單調(diào)遞增時， 的圖形在 上是凹的

對于這個題目，一些網(wǎng)絡(luò)上給出的選項是（D），下面咱們分析一下，看看這個選擇題到底選哪個選項是正確的！

參考分析:題目僅給出 有定義，未說明連續(xù)性:

(A):反例 此時 在 遞減， 遞增，但 是孤立點且為局部極大值。故選項(A)錯誤。

(B):極值點不一定是單調(diào)區(qū)間的分界點. 反例

當(dāng) ， , 是極小值，但在 的任意鄰域內(nèi)函數(shù)振蕩，不具有單調(diào)性。故(B)錯誤。

(C)：當(dāng) 的圖形在 上是凹的時， 在 上單調(diào)遞增. 這是凹曲線(凸函數(shù))的一個基本幾何性質(zhì)，通常稱為三弦引理的推論. 即

若 是定義在區(qū)間 上的凸函數(shù)，對于任意的三個點 ，記

是函數(shù)圖像上的三個點, 是線段 的斜率， 是線段 的斜率， 是線段 的斜率, 則 , 即

幾何直觀：對于一個下凸（凹）的曲線（形狀像碗），若固定右端點 ，讓左邊的動點 逐漸向右移動（即 增大），那么連接動點 和固定點 的割線斜率會越來越大.

數(shù)學(xué)推導(dǎo)：設(shè) 在區(qū)間 上是曲線圖形是凹的（凸函數(shù)）, 根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)，對于 ，有如下斜率不等式：

在本題中，令 為固定右端點, 令 ，這是點 與 的連線斜率. 對于任意 ，由于 的曲線是凹的，根據(jù)凸函數(shù)性質(zhì)可得

即 . 因此，斜率函數(shù) 是單調(diào)遞增的.

選項 (D)：當(dāng) 在 上單調(diào)遞增時， 的圖形在 上是凹的. 這是一個充分性命題, 僅僅保證動點與右端點連線的斜率單調(diào)遞增，并不能保證曲線在整個區(qū)間內(nèi)每一點的二階導(dǎo)數(shù)都大于等于0（即不能排除局部有“鼓起”的情況）.

反例構(gòu)造：構(gòu)造一個函數(shù) ，使得它與點 的連線斜率 是單調(diào)遞增的，但函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)某處是上凸的.

設(shè) ，定義斜率函數(shù)為 , 當(dāng)取 時, 在 上單調(diào)增加, 則由 可解得 . 計算該函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，得

由此可知 在 內(nèi)為正, 在 內(nèi)為負(fù),在 內(nèi)為正, 故 在 內(nèi)為凸曲線,并非在整個定義域上都是凹曲線. 所以選項 (D) 錯誤.

【注】：對于凹凸曲線的函數(shù)這些性質(zhì)的討論是考研中的一個重點，出現(xiàn)的頻率相對比較高，比如去年也是此類問題，而且是一個大題。對于這類抽象題的思路一般也具有通用性，很多時候都是基于上面提到的三弦引理。所以對于三弦引理的結(jié)論不僅要記住，而且要能夠證明。更多相關(guān)類型的典型題和高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析綜合提高專題訓(xùn)練可以查閱。

以上分析是否正確、嚴(yán)謹(jǐn)

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