李永樂：量子物理導(dǎo)論課程 | 新課上線

導(dǎo)語

2025年12月集智學(xué)園聯(lián)合上海大學(xué)理學(xué)院教授（博導(dǎo)）、知乎“物理學(xué)”話題優(yōu)秀答主李永樂推出「統(tǒng)計(jì)物理基礎(chǔ)」系列課程，從統(tǒng)計(jì)物理出發(fā)，討論了一個(gè)復(fù)雜科學(xué)中的經(jīng)典問題：大量微觀粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，如何涌現(xiàn)出穩(wěn)定的宏觀定律。

今年，我們希望把這條問題鏈再往前推進(jìn)一步。如果說統(tǒng)計(jì)物理更多關(guān)心的是“現(xiàn)實(shí)世界如何描述”，那么「量子物理導(dǎo)論」課程關(guān)心“原子尺度下的世界究竟遵循怎樣的底層規(guī)則”。為初學(xué)者補(bǔ)充經(jīng)典物理必備知識(shí)，建立量子態(tài)、密度算符的基本概念，介紹量子力學(xué)中的典型模型與近似方法，建立基于量子力學(xué)思考問題的思路，并以量子計(jì)算為典型應(yīng)用案例，以一位用戶的角度提供一條簡(jiǎn)明的學(xué)習(xí)路徑：掌握量子語言的起源，提供一個(gè)把握當(dāng)代量子科技的接口。

現(xiàn)在量子科學(xué)與技術(shù)進(jìn)入全球與中國(guó)科技布局的核心視野：2025 年被聯(lián)合國(guó)確立為“國(guó)際量子科學(xué)與技術(shù)年”，而 2026 年政府工作報(bào)告和“十五五”規(guī)劃綱要都把量子科技列入未來產(chǎn)業(yè)重點(diǎn)方向。對(duì)一個(gè)關(guān)注復(fù)雜科學(xué)、人工智能與交叉研究的學(xué)習(xí)者來說，掌握量子物理，既是在補(bǔ)一門重要的基礎(chǔ)語言，也是在回應(yīng)正在展開的科技前沿。

歡迎感興趣的研究者加入課程，現(xiàn)在加入可享早鳥價(jià)格。

引入

如何理解量子世界

從1900年量子概念的誕生，到1925年量子力學(xué)建立，所有人都知道必須做點(diǎn)什么，來理解微觀世界的紛繁復(fù)雜的新奇現(xiàn)象。經(jīng)典物理中，可以基于坐標(biāo)和動(dòng)量完全確定被研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而到了微觀的原子層面，一切都發(fā)生了改變，科學(xué)家踏入了一個(gè)嶄新而陌生的世界。1905年愛因斯坦提出“光子”概念，1913年尼耳斯·玻爾提出量子論，只是在經(jīng)典物理中引入一個(gè)“量子概念”，思考問題的方式仍然是經(jīng)典的。這些基于經(jīng)典物理的“補(bǔ)丁”在處理當(dāng)時(shí)已知的量子現(xiàn)象取得了極大成功，解釋了光電效應(yīng)、氫原子結(jié)構(gòu)與光譜。但在后續(xù)深入研究時(shí)，遭遇種種瓶頸，如多電子原子的光譜、反常賽曼效應(yīng)等。到了1924年德布羅意又大膽提出“物質(zhì)具有波動(dòng)性”的新思路，種種跡象都呼喚一套新的思路、新的語言，去理解量子世界。

海森堡在多個(gè)黑暗的夜里，漫步于路燈下長(zhǎng)時(shí)間思考，突然想到不應(yīng)該假設(shè)物體的軌跡，而是應(yīng)該首先做好對(duì)系統(tǒng)“可以看到”的部分，也就是實(shí)驗(yàn)可以確定的部分的描述。通過引入不可交換順序的乘法，海森堡與波恩、約當(dāng)一道建立起“矩陣力學(xué)”。而根據(jù)“描述波要有一個(gè)波動(dòng)方程”的基本思想，薛定諤在瑞士滑雪期間給德布羅意的天才思想配上了一個(gè)方程，讓粒子的波函數(shù)可以計(jì)算。又證明出這套“波的語言”和海森堡的“矩陣語言”完全等價(jià)。1927年狄拉克又提出一套漂亮的描述方案，形成了目前廣泛使用的“量子語言”。

量子力學(xué)的后續(xù)發(fā)展是爆發(fā)性的，從原子光譜，到亞原子、基本粒子，從固體中的導(dǎo)電、熱容，到宇宙中的白矮星、中子星，無處不在應(yīng)用量子力學(xué)。

量子科技的語言

狄拉克晚年曾經(jīng)回顧：什么是量子力學(xué)特有的內(nèi)容？離散的物理量實(shí)際上大量存在于經(jīng)典物理之中，弦上駐波和諧振腔中的電磁波就是典型案例。干涉疊加更是在聲波光波中廣泛存在。但微觀粒子的運(yùn)動(dòng)的復(fù)概率幅，經(jīng)典物理中沒有，僅存在于量子力學(xué)之中。如何理解這個(gè)復(fù)概率幅，是愛因斯坦晚年的一個(gè)心病。有人總結(jié)愛因斯坦的一生，稱“愛因斯坦如果在1935年之后以釣魚度過余生，不會(huì)對(duì)物理學(xué)的發(fā)展造成任何影響。”這個(gè)特殊的年份恰好是量子力學(xué)建立十周年。這一年愛因斯坦把他對(duì)量子力學(xué)的思考總結(jié)為EPR（Einstein- Podolski- Rosen）佯謬。雖然最后被實(shí)驗(yàn)證明，愛因斯坦對(duì)量子力學(xué)的擔(dān)心不成立，但他對(duì)量子力學(xué)的“拷問”一直延續(xù)到今天。正如在統(tǒng)計(jì)物理中，學(xué)習(xí)者見到的那樣：理論的應(yīng)用在不斷拓展的同時(shí)，理論的基礎(chǔ)也在不斷深化，量子力學(xué)至今并未達(dá)到發(fā)展的終點(diǎn)。

量子效應(yīng)不只住在實(shí)驗(yàn)室里

2007年，弗萊明團(tuán)隊(duì)在研究光合作用蛋白時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一件令人困惑的事：能量在葉綠素分子網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)男剩h(yuǎn)超任何經(jīng)典隨機(jī)行走模型（這又是愛因斯坦開創(chuàng)的一個(gè)研究領(lǐng)域）的預(yù)測(cè)。更奇怪的是，信號(hào)中出現(xiàn)了量子相干的振蕩特征，這意味著激發(fā)態(tài)并非定域在單個(gè)分子上，而是以疊加態(tài)分布在整個(gè)光合作用中心，像波一樣在多條路徑上同時(shí)傳播，通過干涉形成最終路徑。

這個(gè)發(fā)現(xiàn)打開了一扇門：生物體系中的量子相干，這個(gè)人們以為只能在微觀真空條件下存在的現(xiàn)象，似乎在常溫、嘈雜的生物環(huán)境中，找到了某種方式維持自身。后續(xù)在生命系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了更多的量子效應(yīng)，如鴿子利用地磁場(chǎng)導(dǎo)航的作用機(jī)制、嗅覺與視覺的起源。

上述現(xiàn)象與生命系統(tǒng)中的化學(xué)反應(yīng)、氫鍵等現(xiàn)象不同，后者的量子性質(zhì)已經(jīng)被宏觀環(huán)境的噪聲“抹平”，展現(xiàn)的是沒有那么純粹的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)平均效果，可以采用某些基于經(jīng)典物理的模型描述。

量子效應(yīng)在生命現(xiàn)象中出現(xiàn)，是因?yàn)榱孔恿W(xué)本來就是所有物質(zhì)遵循的規(guī)則，在適當(dāng)?shù)膱?chǎng)合必然表現(xiàn)出來。近年來又有科學(xué)家用大分子甚至病毒和納米團(tuán)簇，成功實(shí)現(xiàn)了量子干涉，拓展了量子效應(yīng)的出現(xiàn)范圍。近年來，隨著量子計(jì)算的蓬勃發(fā)展，超導(dǎo)、超流的宏觀量子現(xiàn)象也成為熱門話題。2025年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?lì)C發(fā)給實(shí)現(xiàn)了宏觀量子隧穿的成果，也反映了這一趨勢(shì)。

上述較為純粹的量子效應(yīng)，只能以量子語言準(zhǔn)確描述，量子語言也因此成為橫跨物理、化學(xué)、生物和信息科學(xué)的共同必備語言。

這門課從哪里開始，走向哪里

理解量子力學(xué)，需要兩樣?xùn)|西同時(shí)到位：正確的數(shù)學(xué)語言，以及與之匹配的物理圖像。缺少前者，量子力學(xué)就會(huì)變成一堆神秘主義的比喻；缺少后者，它就只是一套能解題卻不知道自己在做什么的形式機(jī)器。

《量子物理導(dǎo)論》這門課從經(jīng)典力學(xué)的哈密頓框架出發(fā)，因?yàn)楣茴D-雅可比方程與薛定諤方程之間存在深刻的結(jié)構(gòu)類比，光學(xué)與力學(xué)的波動(dòng)圖像被量子力學(xué)拿來拓展描述粒子的“物質(zhì)波”。本課程逐步建立量子態(tài)、算符、測(cè)量、密度矩陣的完整語言，基于勢(shì)箱、諧振子、散射、隧穿等典型模型，給出現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用案例，訓(xùn)練物理直覺；以變分、微擾、WKB等近似方法處理更為復(fù)雜的系統(tǒng)，最終以量子計(jì)算與量子信息作為落點(diǎn)，在這里量子力學(xué)的所有奇異性質(zhì)變成了可以工程化的資源。

課程中將配合數(shù)值計(jì)算：用Numerov法求解定態(tài)問題，用量子蒙特卡洛處理多體基態(tài)，用量子計(jì)算模擬軟件實(shí)現(xiàn)量子門。計(jì)算是建立直覺最直接的方式。

這是集智學(xué)園和上海大學(xué)李永樂教授的第二次合作。上一次，我們共同完成了基礎(chǔ)系列課程。李教授是上海大學(xué)理學(xué)院物理系副主任，長(zhǎng)期從事量子動(dòng)力學(xué)與原子分子物理研究，也是知乎物理領(lǐng)域最具影響力的創(chuàng)作者之一，累計(jì)獲得41萬+贊同。本系列課程我們致力于把量子力學(xué)從一門“只有物理系學(xué)生才需要學(xué)”的理論性較強(qiáng)的專業(yè)課，變成跨領(lǐng)域研究者真正能使用的框架語言。

量子力學(xué)在被發(fā)現(xiàn)將近一百年后，仍然沒有一個(gè)所有人都接受的詮釋。物理學(xué)家對(duì)“測(cè)量意味著什么”“波函數(shù)是否描述現(xiàn)實(shí)”爭(zhēng)論至今。但有一件事沒有爭(zhēng)議：它是人類歷史上經(jīng)過最精確驗(yàn)證的物理理論，它的預(yù)言精度超過任何其他已知理論，而它所揭示的自然圖景，疊加、糾纏、退相干、信息與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系，正在重塑我們對(duì)計(jì)算、生命和物質(zhì)本身的理解。

如果你對(duì)量子力學(xué)感興趣，歡迎加入我們的系列課程。

課程主題：量子物理導(dǎo)論

背景與簡(jiǎn)介

量子科學(xué)與技術(shù)正在進(jìn)入更廣闊的科學(xué)研究與技術(shù)創(chuàng)新視野。2025 年被聯(lián)合國(guó)確立為“國(guó)際量子科學(xué)與技術(shù)年”，中國(guó)也已將量子科技納入未來產(chǎn)業(yè)重點(diǎn)方向。據(jù)國(guó)際知名分析機(jī)構(gòu)MarketsandMarkets分析，到2030年，全球量子科技相關(guān)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值將達(dá)到數(shù)百億美元。今后圍繞量子計(jì)算、量子通信、量子精密測(cè)量，以及相關(guān)材料、器件與算法的研究，量子力學(xué)已經(jīng)走出基礎(chǔ)科研的殿堂，拓展到廣泛的理工科應(yīng)用領(lǐng)域，成為未來工程相關(guān)領(lǐng)域的又一新基石。

但對(duì)于很多交叉學(xué)科研究者來說，量子依然帶著明顯門檻。一方面，它常常被理解為一套抽象而艱深的理論，且實(shí)用范圍都在原子以及亞原子級(jí)別；另一方面，量子相關(guān)技術(shù)又在不斷進(jìn)入現(xiàn)實(shí)問題，從原子鐘、核磁共振，到分子模擬、量子信息、量子計(jì)算及基于量子計(jì)算的的量子優(yōu)化、量子化學(xué)與藥物設(shè)計(jì)，量子力學(xué)早已不是一門只局限于大學(xué)及科研機(jī)構(gòu)之內(nèi)的知識(shí)。它正在成為未來前沿技術(shù)的基礎(chǔ)語言之一。

真正困難的地方，往往不在于是否聽說過量子，而在于如何學(xué)習(xí)。很多學(xué)習(xí)者從各種科普、新聞中得知量子計(jì)算、量子糾纏、量子隧穿這些名詞，卻缺少一條清楚的學(xué)習(xí)路徑：量子理論如何從我們中學(xué)開始就熟知的經(jīng)典物理中生長(zhǎng)出來，它的基本語言是什么，又該如何理解各種通用教材中的若干基礎(chǔ)模型。

李永樂老師的《量子物理導(dǎo)論》課程希望提供的，正是這樣一個(gè)起點(diǎn)。課程從經(jīng)典物理出發(fā)，補(bǔ)充分析力學(xué)及波動(dòng)的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)入量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)與基本假設(shè)，逐步展開希爾伯特空間、密度算符、勢(shì)箱、諧振子、散射、近似方法，以及量子計(jì)算與量子信息的初步內(nèi)容。它的重點(diǎn)，不只是讓學(xué)習(xí)者知道若干結(jié)論，更是幫助學(xué)習(xí)者建立一套可持續(xù)生長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)：如何從經(jīng)典物理中生長(zhǎng)出量子物理，如何從紛繁復(fù)雜的物理現(xiàn)象中抽象出最基本的簡(jiǎn)化兩字模型，如何使自己的思維與當(dāng)代量子科技適配。

這門課程尤其適合已經(jīng)具備一定理工基礎(chǔ)、希望系統(tǒng)進(jìn)入量子世界的學(xué)習(xí)者。無論后續(xù)興趣指向量子信息、量子計(jì)算、量子化學(xué)、量子生物學(xué)、藥物與材料的模擬計(jì)算，還是希望在自己的研究中更扎實(shí)地理解微觀體系，這門課都可以作為一個(gè)穩(wěn)健的起點(diǎn)。

八講課程大綱

1. 從經(jīng)典到量子：哈密頓力學(xué)、相空間與波動(dòng)基礎(chǔ)

2. 量子理論如何成立：實(shí)驗(yàn)線索、基本假設(shè)與基本理論體系

3. 當(dāng)量子系統(tǒng)遇到環(huán)境：密度矩陣、糾纏與退相干

4. 量子束縛態(tài)的起點(diǎn)：勢(shì)箱、能級(jí)離散與不確定性

5. 最重要的定態(tài)模型：諧振子、相干態(tài)與代數(shù)方法

6. 量子世界的神奇現(xiàn)象：散射、勢(shì)壘與量子隧穿

7. 處理真實(shí)問題：變分、微擾、WKB與近似計(jì)算

8. 新興的量子科技：量子信息與量子計(jì)算初步

課程講師

李永樂，現(xiàn)任上海大學(xué)理學(xué)院物理系副主任、教授、博士生導(dǎo)師，上海市“青年東方學(xué)者”，主要從事計(jì)算原子分子物理研究，涵蓋量子動(dòng)力學(xué)、化學(xué)物理、分子鐵電及人工智能量子蒙特卡洛等領(lǐng)域。2002-2006年就讀于天津大學(xué)應(yīng)用化學(xué)專業(yè)，期間在山東大學(xué)化學(xué)院交流，2006-2011年獲南京大學(xué)理論化學(xué)博士學(xué)位，2012-2015年先后于新墨西哥大學(xué)、紐約大學(xué)從事博士后研究。2019-2021年訪問加州理工學(xué)院13個(gè)月。開設(shè)“玩轉(zhuǎn)量子世界”在線科普課程。長(zhǎng)期講授大學(xué)物理、統(tǒng)計(jì)物理、計(jì)算物理等課程。在集智學(xué)園講授《統(tǒng)計(jì)物理基礎(chǔ)》系列課程。

個(gè)人官方主頁：https://physics.shu.edu.cn/info/1082/1166.htm 知乎主頁：https://www.zhihu.com/people/yongle-li-86

課程目標(biāo)

1. 建立系統(tǒng)的量子物理基礎(chǔ)認(rèn)知

2. 掌握典型模型與核心求解方法

3. 搭建通向現(xiàn)代量子科技與交叉研究的入口

課程特色

1. 從經(jīng)典走向量子，結(jié)構(gòu)清楚

2. 基礎(chǔ)內(nèi)容與現(xiàn)代量子視角相結(jié)合

3. 結(jié)合真實(shí)案例，增強(qiáng)問題意識(shí)

4. 配套代碼實(shí)踐，推動(dòng)從理解到計(jì)算

課程詳情

1、從經(jīng)典到量子：哈密頓力學(xué)、相空間與波動(dòng)基礎(chǔ)

圖片來源：https://syskool.com/phase-space-and-symplectic-geometry-the-geometric-language-of-classical-mechanics/

課程簡(jiǎn)介：

量子力學(xué)的誕生并非憑空而來，它深深植根于經(jīng)典物理的土壤之中。早在量子理論出現(xiàn)之前，物理學(xué)家們便已發(fā)現(xiàn)一個(gè)令人著迷的事實(shí)：描述光線傳播的費(fèi)馬最短光程原理，與描述粒子運(yùn)動(dòng)的最小作用量原理，在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上竟驚人地相似。哈密頓將這一類比推向極致，建立起以他名字命名的力學(xué)體系，而哈密頓–雅可比方程與光的波動(dòng)方程之間的深層對(duì)應(yīng)，最終成為薛定諤建立量子力學(xué)的重要線索。

德布羅意天才的思想：粒子具有波動(dòng)性，啟發(fā)了科學(xué)家把研究機(jī)械振動(dòng)、機(jī)械波與光波的理論應(yīng)用于量子力學(xué)。這才有了量子疊加與量子干涉的概念。基于電磁波的場(chǎng)的概念也融入量子力學(xué)。這些內(nèi)容在非物理專業(yè)的“大學(xué)物理”中介紹較為孤立與不足，向初學(xué)者介紹量子物理，最好補(bǔ)充相關(guān)的概念。

本節(jié)課將系統(tǒng)梳理拉格朗日力學(xué)與哈密頓力學(xué)的核心框架，包括最小作用量原理、勒讓德變換、哈密頓正則方程與相空間圖景。課程還將介紹正則變換與哈密頓–雅可比方程，并著重呈現(xiàn)光學(xué)、經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)三者之間深刻的數(shù)學(xué)類比。最后，我們將回顧波的疊加、干涉與衍射現(xiàn)象，為理解量子世界積累必要的物理圖像。

課程大綱：

1. 復(fù)習(xí)經(jīng)典力學(xué)中的拉格朗日力學(xué)、哈密頓力學(xué)，以及相關(guān)的振動(dòng)與波的知識(shí)。

2. 最小作用量原理；拉格朗日方程；勒讓德變換；哈密頓方程；作用量-角變量；相空間；劉維爾定理；正則變換；生成函數(shù)與哈密頓-雅可比方程；光學(xué)、力學(xué)與量子力學(xué)類比。

3. 波的疊加、波的干涉、衍射。駐波。

課程重點(diǎn)：

1. 哈密頓方程與哈密頓-雅可比方程。光學(xué)、力學(xué)與量子力學(xué)之間的類比。波的干涉、衍射與相關(guān)的能量。

課程難點(diǎn)：

1. 相空間中的坐標(biāo)變換：切觸變換。

2、量子理論如何成立：實(shí)驗(yàn)線索、基本假設(shè)與態(tài)空間語言

圖片來源：Hans J. Briegel , Thomas Müller, Projective Simulation in Action, Springer, 2025 (Open Access)

課程簡(jiǎn)介：

二十世紀(jì)初，一系列精心設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)接連向經(jīng)典物理發(fā)出挑戰(zhàn)。黑體輻射展示出的紫外災(zāi)難、光電效應(yīng)和康普頓散射中光子與電子相互作用、氫原子光譜的譜線分布規(guī)律、Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)揭示的自旋，每一個(gè)現(xiàn)象都在訴說同一件事：經(jīng)典理論的框架已不足以描述微觀世界。

本節(jié)課將梳理這些奠基性實(shí)驗(yàn)的物理內(nèi)涵，理解它們?nèi)绾喂餐赶蛄孔永碚摰谋匾浴Ｔ诖嘶A(chǔ)上，我們將正式引入量子力學(xué)的基本假設(shè)體系：物理態(tài)用Hilbert空間中的態(tài)矢量描述，可觀測(cè)量對(duì)應(yīng)Hermite算符，測(cè)量如何反映系統(tǒng)的狀態(tài)信息，以及系統(tǒng)如何隨時(shí)間演化。我們將以量子計(jì)算中的量子比特為具體例子，借助Dirac符號(hào)建立起量子力學(xué)的語言框架。這套語言簡(jiǎn)潔而強(qiáng)大，是貫穿整個(gè)量子力學(xué)體系的核心工具。

課程大綱：

1. 量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)概述：黑體輻射、光電效應(yīng)、盧瑟福散射、氫原子光譜、康普頓散射、Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)、布拉格散射、中子散射、Frank-Hertz實(shí)驗(yàn)

2. 量子力學(xué)的基本假設(shè)：1）態(tài)和可測(cè)量（observables）; 2）測(cè)量；3）演化。以量子計(jì)算為例，介紹Hilbert空間。

課程重點(diǎn)：

1. 粒子與波動(dòng)性質(zhì)的統(tǒng)一。

課程難點(diǎn)：

1. Dirac符號(hào)與Hilbert空間表述的量子力學(xué)。

3、當(dāng)量子系統(tǒng)遇到環(huán)境：密度矩陣、糾纏與退相干

圖片來源：https://www.youtube.com/watch?v=ma136N8d3Xc

課程簡(jiǎn)介：

在傳統(tǒng)的量子力學(xué)教科書中，一般僅介紹孤立的單粒子系統(tǒng)。然而現(xiàn)實(shí)中的量子系統(tǒng)從不孤立——它由多個(gè)粒子組成，也與周圍的環(huán)境具有相互作用，這種相互作用需要我們進(jìn)一步拓展對(duì)量子態(tài)的描述語言。

本節(jié)課將引入密度算符這一更為普遍的量子態(tài)語言。不同于純態(tài)的態(tài)矢量描述，密度矩陣能夠統(tǒng)一處理純態(tài)與混合態(tài)，包含了實(shí)驗(yàn)中必不可少的統(tǒng)計(jì)信息。當(dāng)一個(gè)量子系統(tǒng)與環(huán)境發(fā)生糾纏，對(duì)環(huán)境自由度求偏跡之后，系統(tǒng)的密度矩陣將失去相干性，經(jīng)典概率的圖像由此浮現(xiàn)——這便是退相干。我們將從密度矩陣的動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)，理解這一過程的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并借此重新審視量子測(cè)量的本質(zhì)：測(cè)量究竟是一個(gè)怎樣的物理過程，它與系統(tǒng)–環(huán)境相互作用之間又有著怎樣的深層聯(lián)系。

課程大綱：

1. 密度算符的概念與多體問題；純態(tài)與混合態(tài)；量子糾纏。

2. 系統(tǒng)與環(huán)境；退相干的概念。

3. 測(cè)量的討論。

課程重點(diǎn)：

1. 密度矩陣及其動(dòng)力學(xué)方程

課程難點(diǎn)：

1. 如何思考具有環(huán)境的量子態(tài)演化

4、量子束縛態(tài)的起點(diǎn)：勢(shì)箱、能級(jí)離散與不確定性

圖片來源：https://physicsopenlab.org/2015/11/20/quantum-dots-a-true-particle-in-a-box-system/

課程簡(jiǎn)介：

當(dāng)一個(gè)粒子被限制在有限的空間范圍內(nèi)，經(jīng)典力學(xué)允許它擁有任意的能量，空間中出現(xiàn)的概率也處處相等。而量子力學(xué)給出了截然不同的答案：能量只能取一組離散的值，粒子的空間分布也隨之呈現(xiàn)出非均勻的結(jié)構(gòu)。無限深勢(shì)箱是量子束縛態(tài)最簡(jiǎn)單的模型，卻已經(jīng)蘊(yùn)含了量子化的核心機(jī)制。

本節(jié)課將從勢(shì)箱出發(fā)，求解其本征值與本征波函數(shù)，討論簡(jiǎn)并現(xiàn)象的來源與物理含義，并將這一簡(jiǎn)單模型應(yīng)用于真實(shí)體系——共軛分子中的π電子、量子點(diǎn)的光學(xué)性質(zhì)、葉綠素中心的能級(jí)結(jié)構(gòu)——展示量子束縛態(tài)模型在化學(xué)與材料物理中的實(shí)際解釋力。此外，我們將引入海森堡不確定關(guān)系，從波函數(shù)的空間展寬與動(dòng)量展寬的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，理解不確定性的量子力學(xué)根源。課程最后將討論自由粒子與波包，關(guān)注如何構(gòu)造出局域化的、且能夠隨時(shí)間演化的量子態(tài)，以及波包隨時(shí)間的彌散行為。

課程大綱：

1. 勢(shì)箱中的粒子；簡(jiǎn)并。應(yīng)用案例：共軛分子、量子點(diǎn)、花青染料分子、葉綠素中心電子、堿基對(duì)中的π電子。

2. 不確定關(guān)系。

3. 自由粒子；波包。

課程重點(diǎn)：

1. 勢(shì)箱中粒子的本征值與波函數(shù)

課程難點(diǎn)：

1. 簡(jiǎn)并；波包

5、最重要的定態(tài)模型：諧振子、相干態(tài)與算符方法

圖片來源：網(wǎng)絡(luò)

課程簡(jiǎn)介：

諧振子是量子力學(xué)中最重要的定態(tài)模型，沒有之一。從固體中的晶格振動(dòng)到電磁場(chǎng)的量子化，從化學(xué)鍵的振動(dòng)模式到光合作用中的激子耦合，再到光與物質(zhì)相互作用，諧振子的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)無處不在。正因如此，徹底掌握諧振子不僅是理解這些物理體系的前提，更是進(jìn)入量子場(chǎng)論等更高層次理論的必要準(zhǔn)備。

本節(jié)課將用兩種互補(bǔ)的方法求解諧振子問題。解析法通過直接求解薛定諤方程，得到以厄米多項(xiàng)式表達(dá)的波函數(shù)；代數(shù)法則引入產(chǎn)生算符與消滅算符，將能級(jí)的求解轉(zhuǎn)化為純粹的算符代數(shù)——無需求解微分方程，僅憑對(duì)易關(guān)系便可導(dǎo)出全部本征值。這一方法的簡(jiǎn)潔性揭示了量子諧振子背后更深的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，我們將引入相干態(tài)，它是諧振子本征態(tài)的特殊疊加，在量子態(tài)中最接近經(jīng)典簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的行為。課程還將結(jié)合Numerov數(shù)值方法，展示如何用計(jì)算手段求解一維定態(tài)問題。

課程大綱：

1. 諧振子問題：解析法與代數(shù)法。例子：光合作用中的激子。

2. 相干態(tài)。

課程重點(diǎn)：

1. 一維諧振子的本征值與波函數(shù)

課程難點(diǎn)：

1. 產(chǎn)生與消滅算符

代碼：一維諧振子勢(shì)的Numerov法數(shù)值計(jì)算。

6、量子世界的神奇現(xiàn)象：散射、勢(shì)壘與量子隧穿

圖片來源：網(wǎng)絡(luò)

課程簡(jiǎn)介：

經(jīng)典粒子遭遇能量高于自身的勢(shì)壘時(shí)，結(jié)果只有反射一種情況。量子力學(xué)卻給出了根本不同的答案，粒子有一定概率穿越這道經(jīng)典意義上不可逾越的障礙，這便是量子隧穿。隧穿并非一種特殊的例外，而是用波動(dòng)來描述粒子的必然結(jié)果，是量子世界的基本特征之一。

本節(jié)課將從勢(shì)階問題出發(fā)，系統(tǒng)建立一維量子散射的分析框架，引入反射系數(shù)與透射系數(shù)，理解入射波、反射波與透射波之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，我們將轉(zhuǎn)向方形勢(shì)壘，定量分析隧穿概率對(duì)勢(shì)壘高度與寬度的依賴，并以蛋白質(zhì)中的電子隧穿和聲子通過真空傳遞為例，展示這一純粹的量子效應(yīng)在真實(shí)生物與材料體系中的重要作用。課程還將討論有限深勢(shì)阱的散射問題，完善定態(tài)散射的整體圖景。全程結(jié)合一維量子散射的數(shù)值模擬，直觀展示波函數(shù)在不同勢(shì)場(chǎng)結(jié)構(gòu)下的行為。

課程大綱：

1. 勢(shì)壘

2. 方形勢(shì)壘。例子：蛋白質(zhì)中的電子隧穿、聲子通過真空傳遞

3. 有限深勢(shì)阱

課程重點(diǎn)：

1. 散射截面

課程難點(diǎn)：

1. 量子隧穿

代碼：一維量子散射計(jì)算模擬。

7、處理真實(shí)問題：變分、微擾、WKB與近似計(jì)算

課程簡(jiǎn)介：

量子力學(xué)中能夠精確求解的模型屈指可數(shù)——?jiǎng)菹洹⒅C振子、氫原子、自由落體等少數(shù)幾種。真實(shí)的物理與化學(xué)體系，從氦原子到復(fù)雜分子，幾乎無一例外地需要借助近似手段才能得到可靠的結(jié)果。如何通過合理近似，對(duì)量子系統(tǒng)作出定量的預(yù)測(cè)，是量子力學(xué)走向?qū)嵱玫年P(guān)鍵一步。

本節(jié)課將系統(tǒng)介紹三類核心近似方法。變分法以能量的下界原理為基礎(chǔ)，通過優(yōu)化試探波函數(shù)的參數(shù)逼近基態(tài)能量；定態(tài)微擾論則在已知精確解的模型基礎(chǔ)上，將系統(tǒng)的額外相互作用視為加在理想系統(tǒng)的微擾，可以做級(jí)數(shù)展開，逐階修正本征值與本征態(tài)。WKB近似適用于勢(shì)函數(shù)緩變的情形，通過半經(jīng)典的波函數(shù)擬設(shè)，在經(jīng)典允許區(qū)與禁戒區(qū)分別建立近似解，并在轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近銜接。課程結(jié)合氫原子與氦原子基態(tài)能量的計(jì)算，對(duì)比變分法、微擾法與量子蒙特卡洛三種數(shù)值方案的思路與精度，展示近似方法從解析到數(shù)值的完整圖景。

課程大綱：

1. 變分法

2. 微擾法

3. WKB近似

課程重點(diǎn)：

1. 量子蒙特卡洛、定態(tài)微擾論

課程難點(diǎn)：

1. WKB波函數(shù)擬設(shè)、WKB計(jì)算框架

代碼：量子蒙特卡洛法、變分法、微擾法求解氫原子與氦原子基態(tài)能量。

8、新興的量子科技：量子信息與量子計(jì)算初步

圖片來源：Peter Greenwood for Quanta Magazine

課程簡(jiǎn)介：

量子計(jì)算是量子力學(xué)的一個(gè)完美應(yīng)用。經(jīng)典計(jì)算機(jī)的基本單元是比特，只能取0或1；量子計(jì)算機(jī)的基本單元是量子比特，它是一對(duì)量子基矢|0>與|1>的任意疊加態(tài)，并可以用Bloch球上的一個(gè)方向向量直觀表示。這一簡(jiǎn)單的推廣，帶來了信息處理能力的根本性變化。

本節(jié)課將從量子比特的幾何描述出發(fā)，建立量子計(jì)算的基本語言框架。我們將介紹量子門的概念——作用在量子比特上的幺正變換——以及如何用量子門的組合構(gòu)造量子線路。在此基礎(chǔ)上，我們將深入討論量子糾纏：多比特系統(tǒng)的量子態(tài)并不總能分解為各比特態(tài)的張量積，糾纏態(tài)攜帶的關(guān)聯(lián)超越了任何經(jīng)典系統(tǒng)所能實(shí)現(xiàn)的范圍，這正是量子計(jì)算相較于經(jīng)典計(jì)算擁有潛在優(yōu)勢(shì)的根本來源。課程結(jié)合量子加法門的模擬實(shí)現(xiàn)，展示量子線路如何在具體計(jì)算任務(wù)中運(yùn)作。

課程大綱：

1. 量子態(tài)的描述：量子比特與Bloch球

2. 量子糾纏

3. 量子門

課程重點(diǎn)：

1. 量子計(jì)算中的量子態(tài)描述

課程難點(diǎn)：

1. 量子糾纏

代碼：用Python中的Cirq等量子計(jì)算模擬模塊，實(shí)現(xiàn)量子加法門。

推薦參考教材

1. Richard Liboff, Introductory Quantum Mechanics, 2003, Addison Wesley, ISBN 0-8053-8714-5

2. Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Lalo?, Quantum Mechanics, Vol. 1-3, Wiley-ACH

3. 盧文發(fā)，《量子力學(xué)與統(tǒng)計(jì)力學(xué)》，上海交通大學(xué)出版社，2013，ISBN 978-7-313-09729-3

4. Nielson & Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 2010, ISBN 978-1-107-00217-3

課程適用對(duì)象

1. 物理、化學(xué)、材料、計(jì)算科學(xué)等專業(yè)的本科高年級(jí)生與研究生

2. 有高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、常微分方程基礎(chǔ)的理工科研究者

3. 對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)、AI for Science、量子信息、量子化學(xué)有興趣的跨學(xué)科學(xué)習(xí)者

4. 希望補(bǔ)上量子基礎(chǔ)、建立現(xiàn)代量子語言的人

報(bào)名須知

1. 課程形式：騰訊會(huì)議直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播。本系列課程不安排免費(fèi)直播。

2. 課程周期：2026年4月27日-2026年6月22日，每周一晚18點(diǎn)-20點(diǎn)進(jìn)行。

3. 課程定價(jià)：原價(jià)799，早鳥價(jià)499，早鳥優(yōu)惠截止到2026年4月28日中午12點(diǎn)。

掃碼付費(fèi)報(bào)名課程課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5724?from=wechat

付費(fèi)流程：

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加課程負(fù)責(zé)人微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程獎(jiǎng)學(xué)金機(jī)制

1. 途徑一：課程共創(chuàng)任務(wù)：課程字幕

為鼓勵(lì)學(xué)員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識(shí)傳播成果，并構(gòu)建課程知識(shí)共建社群。為此，我們特別設(shè)立激勵(lì)機(jī)制，讓您的學(xué)習(xí)之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結(jié)束后，助教會(huì)于課程群內(nèi)發(fā)布字幕共創(chuàng)任務(wù)。學(xué)員通過參與這些任務(wù)，不僅能加深對(duì)內(nèi)容的理解，還可獲得積分獎(jiǎng)勵(lì)。積分可兌換其他讀書會(huì)課程或?qū)嵨铼?jiǎng)品，助力您的持續(xù)成長(zhǎng)。

1. 途徑二：招募課程助理1名

付費(fèi)報(bào)名課程后，聯(lián)系助教微信申請(qǐng)課程助理。經(jīng)溝通，成為正式課程助理，完成課程助理任務(wù)，在課程結(jié)束后退全額學(xué)費(fèi)。

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1. 量子信息與量子計(jì)算預(yù)讀班

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預(yù)讀班鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/4082

6. 《玩轉(zhuǎn)量子世界講座》：https://www.koushare.com/live/details/8639

7. “玩轉(zhuǎn)量子世界”科普課（共6節(jié)）：https://www.koushare.com/video/details/24092?series_id=477