何新數學史札記（3）：微積分的近代發明與傳播

何新1980年代數學史讀書札記（3）

微積分在歐洲的學術應用經歷了一個從萌芽、創立、爭議到成熟的過程，大致可以分為以下幾個階段：

一、萌芽階段（17世紀初）

? 開普勒（1609, 1619）：在《新天文學》和《宇宙和諧論》中使用幾何方法研究行星運動，提出了行星運動三定律，為微積分提供了物理背景。

? 伽利略（1638）：在《關于兩門新科學的對話》中研究自由落體和拋射體運動，使用了極限思想。

? 費馬（1629, 1637）：提出了求極值的方法，本質上等價于求導數為零的點，被認為是微積分的重要前驅。

二、創立階段（17世紀中后期）

? 牛頓（1665–1666）：在劍橋大學期間發展出“流數法”，用于描述連續變化的量。

? 萊布尼茨（1673–1684）：獨立發展出微積分，并引入了更便于計算的符號體系。

? 1684年：萊布尼茨發表第一篇系統介紹微積分的論文，標志著微積分的正式誕生。

? 1687年：牛頓在《自然哲學的數學原理》中使用流數法推導萬有引力定律，展示了微積分在物理學中的巨大威力。

三、爭議（17世紀末–18世紀初）

? 優先權之爭（1699–1716）：牛頓和萊布尼茨的支持者之間爆發激烈爭論，影響了微積分在歐洲的傳播。
? 基礎概念的哲學爭論（1734）：貝克萊主教的微積分基礎概念合理性質疑

——引爆第二次數學基礎概念危機。

四、應用工具

? 伯努利家族：雅各布·伯努利和約翰·伯努利積極推廣萊布尼茨的微積分，使其在歐洲大陸迅速傳播。

? 洛必達法則（1696）：約翰·伯努利提出，由洛必達整理出版，是微積分早期普及化的重要成果。

五、成熟與廣泛應用階段（18世紀）

? 歐拉（1707–1783）：被稱為“分析學的化身”，將微積分應用于幾乎所有數學和物理領域，包括：

? 無窮級數

? 變分法

? 流體力學

? 天體力學

? 拉格朗日（1736–1813）：在《分析力學》中系統使用微積分，將力學建立在分析基礎上。

? 拉普拉斯（1749–1827）：在《天體力學》中廣泛使用微積分，推動了經典力學的發展。

六、嚴格化階段（19世紀）

? 柯西（1789–1857）：引入極限的嚴格定義，為微積分奠定了堅實的邏輯基礎。

? 魏爾斯特拉斯（1815–1897）：進一步完善了極限理論，提出了“ε-δ”定義，使微積分完全嚴格化。

? 黎曼（1826–1866）：提出黎曼積分，擴展了積分的概念。

結論

微積分在歐洲的應用經歷了以下時間線：

? 17世紀初：萌芽

? 17世紀中后期：創立

? 18世紀：成熟并廣泛應用于科學和工程

? 19世紀：嚴格化并成為現代數學的基礎

作為微積分哲學基礎的極限動態趨零悖論，雖然有各種合理化解釋，但是始終沒有結局，目前仍然沒有解決。

【附錄】微積分發明與李善蘭無關

李善蘭（1811–1882）是晚清中國最重要的數學家，他的貢獻主要是將西方近代數學引入中國。

? 1859年：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合作翻譯《代微積拾級》，這是中國第一部系統介紹微積分的著作，標志著微積分正式傳入中國。

? 1860–1882年：李善蘭在江南制造局翻譯館繼續翻譯西方數學和天文學著作，為中國近代科學的啟蒙做出重要貢獻。

? 李善蘭的原創貢獻：在組合數學領域提出“李善蘭恒等式”，在數論和級數方面也有研究成果，是中國近代新數學的奠基者之一。