伍鴻熙：向未來的教師傳授中小學(xué)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)家伍鴻熙長期關(guān)注中小學(xué)數(shù)學(xué)，他指出中小學(xué)數(shù)學(xué)并非大學(xué)數(shù)學(xué)的簡化版，而是一門獨(dú)立的 “數(shù)學(xué)工程”，并提出應(yīng)向未來教師傳授貼合教學(xué)實(shí)際的基于原理的中小學(xué)數(shù)學(xué)（PBSM）。本文通過具體教學(xué)案例論證其與大學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)差異，為中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)與教學(xué)實(shí)踐提供了一些思路。

撰文 | 伍鴻熙 (Hung-Hsi Wu)

翻譯 | 陸柱家

校對 | 童欣

本文譯自：Eur. Math. Soc. Mag., 122 (2021), p.39-45, Teaching school mathematics to prospective teachers, Hung-Hsi Wu. Copyright ? the European Mathematical Society 2021. All rights reserved. Reprinted with permission. 感謝歐洲數(shù)學(xué)會授予譯文出版許可。
注：原譯文將 school mathematics 譯成“學(xué)校數(shù)學(xué)”，為了便于理解，這里統(tǒng)一將其改成了“中小學(xué)數(shù)學(xué)”。

摘要

什么樣的數(shù)學(xué)應(yīng)該教給未來的數(shù)學(xué)教師，一直是數(shù)學(xué)教育中的一個長期懸而未決的問題。我們主張我們應(yīng)該準(zhǔn)確地教給他們，他們的工作所需要的：中小學(xué)數(shù)學(xué)。

01

引言

良好的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育需要教師有淵博的數(shù)學(xué)知識。畢竟，一個人不能教他（她）所不知道的內(nèi)容。但是，至少在美國，我們?nèi)匀粵]有確定我們應(yīng)該對未來的教師教什么樣的數(shù)學(xué)，以使他們知識淵博[12]。

在一篇眾所周知的早在1990年的文章[1]中，Deborah Ball 報道了她對5所大學(xué)中的252位未來數(shù)學(xué)教師的候選人（217名小學(xué)教師和35名高中教師）的學(xué)科知識研究。該研究集

能夠選擇正確代表這種除法的問題。在一項(xiàng)較小的研究中，217名教師中的35名（25名小學(xué)和10名高中）被要求創(chuàng)建一個他們自己的應(yīng)用問題來正確表示這個除法。35位教師中只有4位（即11%）可以提供一個令人滿意的答案，所有這4位都是高中老師。Ball 與不打算從事教學(xué)工作的大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生（分別的）面談關(guān)于分?jǐn)?shù)除法的同一主題并未產(chǎn)生更好的結(jié)果。她的結(jié)論是，未來教師的學(xué)科準(zhǔn)備迫切需要我們認(rèn)真重新評估。

探究如何最好地幫助未來教師獲得教學(xué)所需的數(shù)學(xué)理解自然早于 Ball 的研究，至少可以追溯到20世紀(jì)初。在新數(shù)學(xué)階段的衰落時期1960年代，E.G. Begle 也思考了教師的學(xué)科知識和他們的學(xué)生成績之間可能的相關(guān)性。在他1972年對308名高中代數(shù)教師的研究[2]中，他沒有發(fā)現(xiàn)任何證據(jù)表明教師的數(shù)學(xué)訓(xùn)練數(shù)量會導(dǎo)致學(xué)生成績的提高。這一發(fā)現(xiàn)在1979年得到進(jìn)一步證實(shí)[3]。

自從 Begle 和 Ball 的工作以來的幾十年里，他們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象變得愈加清晰。我們將首先

科，與我們在大學(xué)教授的數(shù)學(xué)不同，我們可以正確地看待這些數(shù)據(jù)。

02

分?jǐn)?shù)的除法：兩種觀點(diǎn)

我們將從兩個角度探討分?jǐn)?shù)除法的主題。首先，我們描述小學(xué)生需要知道的回答 Deborah Ball 的問題的知識，其次，大學(xué)生在代數(shù)課程中關(guān)于分?jǐn)?shù)除法可以學(xué)到的內(nèi)容。由于篇幅所限，我們將只關(guān)注兩者之間的關(guān)鍵數(shù)學(xué)差異，而不涉及教學(xué)后果。

當(dāng)分?jǐn)?shù)除法的話題在小學(xué)高年級被提出時，學(xué)生們面臨一個真正的概念挑戰(zhàn)：分?jǐn)?shù)的概念比他們曾經(jīng)遇到過的任何事物都具有更高程度的抽象，而除法的概念是關(guān)于分?jǐn)?shù)的4種算術(shù)運(yùn)算中最難以捉摸的。如果學(xué)生沒有被告知這些概念的確切含義，他們就無法克服任何一個障礙。亞利桑那州小學(xué)老師 Kyle Kirkman 說：

“我了解到精確的數(shù)學(xué)定義是至關(guān)重要的。如果缺乏精確性，學(xué)生將用出現(xiàn)在他們的范式中似乎符合想法的任何內(nèi)容填寫定義所缺失或模糊的內(nèi)容。并非所有數(shù)學(xué)本質(zhì)上都是直觀的，所以這肯定會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。[12,§4.2.4]”

不幸的是，中小學(xué)數(shù)學(xué)通常不給出分?jǐn)?shù)的一個精確定義，而是用模糊的隱喻向?qū)W生解釋分?jǐn)?shù)，至少不是學(xué)生可以用以推理分?jǐn)?shù)的4種運(yùn)算。我們必須首先描述針對這種可悲情況的補(bǔ)救措施。我們將根據(jù)小學(xué)生感覺“真實(shí)”和“有形”的東西來定義分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在普遍接受的定義是所謂的數(shù)直線 (即數(shù)軸——小編注)上的一個點(diǎn)（見[9,§12.1-12.2]或[11,第1-18頁]），如下所示。我們假設(shè)我們可以判斷一條直線上的兩個線段（即閉區(qū)間）是否具有相等的長度。數(shù)直線是一條水平線，其上的整數(shù) (本文中，凡（非零）整數(shù)皆指正整數(shù)。——譯注) 已被標(biāo)識為點(diǎn)，因此數(shù)字1,2,3,...相繼放置在0的右側(cè)，線段[0,1],[1,2],[2,3],...都具有相同的長度（圖1）。分母等于（例如）5的分?jǐn)?shù)由整數(shù)和分點(diǎn)組成：每個線段[0,1],[1,2],[2,3],..被劃分為5個相等的部分，即5個相等長度的線段（圖2）。我們稱這個序列是1/5序

最后一個等式是例行計算。

我們現(xiàn)在已經(jīng)做了足夠的工作來展示學(xué)校老師對小學(xué)生正確地教分?jǐn)?shù)除法所需要的最少的數(shù)學(xué)知識。我們再次指出，這最低限度的知識通常并不是小學(xué)生在學(xué)校里被教授的。盡管如此，現(xiàn)在是時候討論 Ball 1990年文章中關(guān)于為什么大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也可能不具備此類知識的問題了。我們在下面的討論中將只能提供最簡單的大綱。

一門關(guān)于抽象代數(shù)的大學(xué)課程，它包括數(shù)學(xué)上定義分?jǐn)?shù)的正確方法，本質(zhì)上是對學(xué)生第一次介紹抽象數(shù)學(xué)。這樣一門課程的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生在所謂的抽象數(shù)學(xué)的新環(huán)境中邁出第一步。因而這些課程不懈強(qiáng)調(diào)的是正確的定義和證明，以及通過使用邏輯將所有復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象簡化為最基本的要素。對于手頭的情況，讓我們把自己放在學(xué)生已經(jīng)擁有整數(shù)集

是，等式（1）是中小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個定理，而同樣的陳述（5）僅僅是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一個定義。

我們現(xiàn)在可以解釋為什么大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生通常無法向小學(xué)生解釋如何將兩個分?jǐn)?shù)相乘。首先，這些數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的大多數(shù)（如果不是全部的話）在他們自己上小學(xué)時都沒有獲得這種知識[16]。更重要的是，他們在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中學(xué)到的分?jǐn)?shù)是關(guān)于有理數(shù)集作為一個域的抽象結(jié)構(gòu)，而不是關(guān)于分?jǐn)?shù)與日常經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系。所以，并不是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都不懂分?jǐn)?shù)，但他們對分?jǐn)?shù)的理解并非是小學(xué)生所顧慮的。就乘法是除法的基礎(chǔ)而言，同樣的評論將適用于分?jǐn)?shù)除法的中小學(xué)數(shù)學(xué)，正如我們現(xiàn)在所展示的。

作為大學(xué)數(shù)學(xué)使命的一部分，約簡所有現(xiàn)象到基本要素，中小學(xué)數(shù)學(xué)中的4個算術(shù)運(yùn)算減少

從抽象數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，"除法"只是處于正確位置的乘法。數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生此時通常會忙于探索新的代數(shù)結(jié)構(gòu)（群,域,環(huán)等），而根本不顧及任何除法或其在現(xiàn)實(shí)生活中的影響帶來的任何困惑。如果他們不能幫助小學(xué)生克服"我們的問題不是推理，只是倒置和乘帶來的任何困惑。如果他們不能幫助小學(xué)生克服"我們的問題不是推理，只是倒置和乘法"這樣的恐懼，這不是再次——因?yàn)樗麄冎赖谋葘W(xué)校老師少，而是因?yàn)樗麄冎酪恍┎煌谛W(xué)生所關(guān)心的事情。

03

什么是中小學(xué)數(shù)學(xué)？

通過一個小話題分?jǐn)?shù)除法我們可以看到所謂的大學(xué)數(shù)學(xué)（university mathematics）（大學(xué)教授的數(shù)學(xué)，是為了讓學(xué)生做好研究數(shù)學(xué)的準(zhǔn)備）和中小學(xué)數(shù)學(xué)（school mathematics）（在K-12學(xué)校教授的數(shù)學(xué)）之間關(guān)鍵的差別。前者的一個主要目標(biāo)是向?qū)W生介紹抽象數(shù)學(xué)，主要強(qiáng)調(diào)的是邏輯完整性，并利用抽象來實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。不管這做得多么溫和，但也太嚴(yán)格、太復(fù)雜而不適合在學(xué)校使用。主要來自觸覺體驗(yàn)世界的學(xué)校學(xué)生需要一座橋梁來幫助他們過渡到抽象世界。中小學(xué)數(shù)學(xué)是那座橋，它應(yīng)該被認(rèn)為是一門獨(dú)立的學(xué)科，致力于定制大學(xué)數(shù)學(xué)以滿足學(xué)生的需求，就像化學(xué)工程是定制抽象化學(xué)原理以滿足人類需求的學(xué)科一樣。從這個意義上說，中小學(xué)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)工程[7]。

但是，有好的工程，也有糟糕的工程。好的工程總是遵守與其相關(guān)的科學(xué)學(xué)科的基本原理——例如，機(jī)械工程不從事設(shè)計永動機(jī)——但糟糕的工程可能會做相反的事情。就數(shù)學(xué)而言，至少在美國糟糕的數(shù)學(xué)工程已經(jīng)工作了很長時間；它產(chǎn)生的中小學(xué)數(shù)學(xué)似乎是對數(shù)學(xué)基本原理的嘲弄[16]。但在繼續(xù)之前，讓我們陳述數(shù)學(xué)基本原理的一個版本[8]：

(i)明確的定義（Clear definitions）：精確定義了每個概念，以便用于推理。

(ii)邏輯推理（Logical reasoning）：每個斷言都得到以下推理的支持：解釋為什么它是真的。（據(jù)了解，在少數(shù)特殊情形，如代數(shù)基本定理，可以推遲推理。）

(iii)準(zhǔn)確的語言（Precise language）：在真假之間的區(qū)別是絕對的學(xué)科中，沒有歧義的容身之地。

(iv)連貫性（Coherence）：概念和技能不是零散的和碎片，它們是一個連貫整體的一部分。

(v)目的性（Purposefulness）：每個概念或技能都是有目的的。

在前面關(guān)于分?jǐn)?shù)除法的討論中，我們已經(jīng)看到了它們的全部作用。因此，分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法都被精確定義，使得利用推理來解釋公式（5）和（6）成為可能。中小學(xué)數(shù)學(xué)

從分?jǐn)?shù)的定義以及整數(shù)乘法的定義演變而來的。我們還展示了分?jǐn)?shù)除法的定義是以整數(shù)除法的定義為模型的。最后，雖然分?jǐn)?shù)乘法和除法概念的目的非常明顯，但還有許多其他概念或技能在學(xué)校課程中的存在并沒有得到很好的解釋，例如，為什么學(xué)習(xí)如何四舍五入

到最接近的十或最接近的千（見[9,第10章]），為什么取實(shí)數(shù)的絕對值（見[15,第130-131頁和[14,第120, 123頁]）等。另請參閱下面對斜率（slope）的討論。

我們將參考遵循數(shù)學(xué)基本原理作為PBSM（Principles-Based School Mathematics（基于原理的中小學(xué)數(shù)學(xué)）；見[5]）的中小學(xué)數(shù)學(xué)。

我們現(xiàn)在有了必要的工具來重新審視教師的數(shù)學(xué)教育問題，這個問題由 Begle, Ball 和其他人發(fā)現(xiàn)，但他們并未給以確切表達(dá)。在我們的語言中，他們的信息是，要培養(yǎng)出具有數(shù)學(xué)知識的教師，我們必須教授他們 PBSM，而不是大學(xué)數(shù)學(xué)。這是因?yàn)橹行W(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)是相關(guān)但本質(zhì)上不同的學(xué)科，因此了解大學(xué)數(shù)學(xué)并不意味著了解 PBSM。我們用一個小話題——分?jǐn)?shù)除法——強(qiáng)調(diào)了他們的不同之處，但是還有很多其他這樣的例子。讓我們簡要地看另外兩個附加的例子以進(jìn)一步為我們所說的理由辯護(hù)：一條直線斜率的概念，以及學(xué)校幾何課程的廣泛問題。類似的例子貫穿了6本書（見[9-11,13-15]）。

首先，考慮中小學(xué)數(shù)學(xué)如何處理"斜率"。典型的出發(fā)點(diǎn)是讓學(xué)生保留他們在 Euclid（歐幾里得）幾何中對直線的幼稚概念，并根據(jù)這種幼稚的概念定義斜率。這樣，在坐標(biāo)平面

最后，關(guān)于學(xué)校幾何課程的一些評論。這個課程有需要糾正的明顯缺陷。我們已經(jīng)提出了相似三角形教學(xué)與斜率教學(xué)相協(xié)調(diào)的必要性；這種需求通常得不到滿足。還需要解釋全等（congruence）和相似（similarity）的概念，因?yàn)樗鼈兒茏匀坏爻霈F(xiàn)在日常生活中。但是，學(xué)校課程在Euclidean幾何課程中通常只教授三角形（triangle）全等和相似，而從不教授一般幾何圖形的全等和相似。這不僅是通識教育的缺陷，而且對中小學(xué)數(shù)學(xué)課程本身也是有害的，因?yàn)閽佄锞€的全等和相似的一般知識將很好地闡明二次方程和函數(shù)的主題（見[13,§2.1和§2.2]）。最后但并非最不重要的，Euclidean幾何課程通常被炫耀作為學(xué)校教育的皇冠上的明珠，它教學(xué)生如何在公理的基礎(chǔ)上利用邏輯嚴(yán)格地證明一切。我們越早消除學(xué)校學(xué)生的這種錯覺越好！的確，從Hilbert（希爾伯特，1862-1943）的工作開始，我們就知道Euclidean幾何的公理系統(tǒng)異常微妙，其內(nèi)部運(yùn)作并不適合學(xué)校學(xué)生的教育（見Hartshorne（哈茨霍恩）著作[4]的前幾章；即使是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也會付出沉重的代價）。中小學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)該遠(yuǎn)離關(guān)于Euclidean幾何公理系統(tǒng)這種編造，而是嘗試引入相當(dāng)多的冗余假設(shè)進(jìn)入Euclidean幾何，以盡量減少學(xué)生一開始證明許多無聊、明顯且難以證明的定理。比較[15,第4-5章]和[13,第6-8章]。

不用說，大學(xué)數(shù)學(xué)的任何部分都不會在高中幾何的演示中解決這些問題。這里需要嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)工程，使平面幾何真正為高中生所用。

04

一個存在性證明

到目前為止，我們一直主張有必要對未來的教師教授 PBSM。隱含的假設(shè)是 PBSM 總是一直在身邊，并準(zhǔn)備好接受。這是所做的一個令人愉快的假設(shè)，甚至是一個可以相信的更令人愉快的假設(shè)。然而清醒地意識到，世界上各種有缺陷的中小學(xué)數(shù)學(xué)很可能永遠(yuǎn)無法定制大學(xué)數(shù)學(xué)在不違反一項(xiàng)或多項(xiàng)數(shù)學(xué)基本原理的情況下供學(xué)校學(xué)生使用。Alan Schoenfeld (舍恩菲爾德) 似乎是教育工作者中第一個在 1994 年承認(rèn)，盡管他認(rèn)為應(yīng)該存在類似 PBSM 的東西，但目前還沒有書面證據(jù)證明確實(shí)如此[6]。我們可以在 2021 年報告，這個假設(shè)不再是一個假設(shè)：確實(shí)存在中小學(xué)數(shù)學(xué)的 PBSM 的完整闡述。它在 6本書中進(jìn)行了描述: [9, 11]適合 K-5 年級教師，[10, 11]適合 6-8 年級教師，[13-15]適合 9-12 年級教師。

我們可以解釋對 PBSM 13 年的完整闡述這樣的必要性。已經(jīng)有一些文章和書籍證明了在中小學(xué)數(shù)學(xué)中將推理引入一兩個特定主題的可能性，但如此小規(guī)模的討論無法揭示數(shù)學(xué)基本原理的本質(zhì)。例如，為了讓教師了解精確定義的必要性，我們不能只向他們展示一些關(guān)鍵主題的 PBSM，因?yàn)榻處熜枰谥行W(xué)數(shù)學(xué)的各個方面體驗(yàn)這種需求，包括最普通概念的定義，例如百分率，比，速度，方程，變量，角度，不等式圖像等. 考慮連貫性問題: 當(dāng)通過顯微鏡觀察中小學(xué)數(shù)學(xué)時，它通常是不可見的，例如關(guān)注分?jǐn)?shù)加法或分?jǐn)?shù)除法. 但是當(dāng)分?jǐn)?shù)的主題被作為一個整體來考慮時，那么等價分?jǐn)?shù)定理將分?jǐn)?shù)的所有不同部分一起變得有些令人嘆為觀止 (見[11, 第 28-86 頁])。在稍大一點(diǎn)的規(guī)模上，當(dāng)除法的概念被證明在整數(shù)，分?jǐn)?shù)，有理數(shù)和實(shí)數(shù)上都是相同的時，人們也可以看到工作的連貫性[9]。我們應(yīng)該補(bǔ)充的是，如果沒有對中小學(xué)數(shù)學(xué)的這種縱向概述，學(xué)校幾何課程的缺陷可能就不會被發(fā)現(xiàn)。

6 本書對 PBSM 的闡述，除了為學(xué)生的中小學(xué)數(shù)學(xué)課本提供基礎(chǔ)之外，還詳細(xì)展示了我們?nèi)绾螢榻處熖峁└玫臄?shù)學(xué)教育。在美國，對教師的教學(xué)分為 3 個年級段: 小學(xué)(K-5 年級)，初中(6-8 年級)和高中(9-12 年級)。如上所述，所說到的 6 本書中編寫時考慮到了這些年級，因此，總的來說，他們現(xiàn)在對由 Begle, Ball 等人隱含地提出的原始問題提供了一個答案，即我們應(yīng)該教老師什么樣的數(shù)學(xué)? (在[15, 第 xxi 頁]給出了對這個問題更詳細(xì)的答案。) 毋庸置疑，中小學(xué)數(shù)學(xué)課程現(xiàn)在不是——也永遠(yuǎn)不會是——都一樣，但盡管如此，我們希望這樣一個完整的 PBSM 闡述將有助于更好的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育，因?yàn)榻逃ぷ髡邿o需執(zhí)行必要的數(shù)學(xué)工程。現(xiàn)在應(yīng)該相對容易地自由修改現(xiàn)有模型[9-11, 13-15]，以滿足不同的需求。

致謝（略）

參考文獻(xiàn)

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[11] H. Wu, Teaching School Mathematics: Pre-Algebra. American Mathematical Society, Providence(2016)

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[13] H. Wu, Algebra and Geometry. American Mathematical Society, Providence(2020)

[14] H. Wu, Pre-Calculus, Calculus, and Beyond. American Mathematical Society, Providence(2020)

[15] H. Wu, Rational Numbers to Linear Equations. American Mathematical Society, Providence(2020)

[16] H. Wu, Learnable and unlearnable school mathematics. https://math.berkeley.edu/~wu/AE2020A.pdf(2021)

本文原載于《數(shù)學(xué)譯林》, 2022, 41(3)。

注：本文封面圖片來自版權(quán)圖庫，轉(zhuǎn)載使用可能引發(fā)版權(quán)糾紛。

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