數字藝術：當藝術遇上算法

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文展示6個由數學原理啟發的圖像與雕塑，展現數學的深邃之美

我們常以冰冷的敬畏之心看待數學。這門學科由永恒的規則與原理所驅動：比如素數的個數永遠無法窮盡，圓周率的數位也將無限延續。

然而在這份確定性之下，卻潛藏著一種崇高的魅力。某個證明或方程能產生優雅的美學效應。以研究群論的數學家為例，他們分析支配旋轉與反射的規則——視覺上，這些變換會呈現為極具沖擊力的瑰麗對稱，恰如雪花輻射狀的圖案。

部分數學家與藝術家認為，在數學與藝術之間做抉擇是個偽命題。他們選擇不做選擇，而是用數字和群論的語言提出問題，在金屬、塑料、木材和電腦屏幕上尋找答案——他們編織、勾勒、構建。每年都有許多這樣的人齊聚國際橋梁數學與藝術會議交流思想，或在兩年一度的加德納聚會上碰面——該聚會以馬丁·加德納的名字命名，這位數學家曾為本刊撰寫長達25年之久的著名專欄《數學游戲》。

如今，人們對數學藝術的興趣似乎正在蓬勃興起，展覽乃至學術期刊的增多都表明了這一點。當前這股浪潮的根源可追溯至20世紀末，但當今的藝術家們召喚著更廣闊的數學繆斯，并運用著更現代的工具。以下便是其中幾件最引人矚目的作品。

《博羅梅安環塞弗特曲面》（2008年）

巴斯示巴·格羅斯曼（Bathsheba Grossman）

過去十余年間，定居波士頓的格羅斯曼一直運用3D打印技術，將數學雕塑鑄造于金屬之中。她沉醉于對稱性、不可能形態以及空間分割。此處的三個外環彼此不相接觸，卻又環環相扣無法分離——若移除其中一環，另兩環即可解脫。這種被稱為博羅梅安環的古老結構，如今出現在國際數學聯盟的標識中。

這些環屬于鏈環形式的數學家族，每個成員都由三條閉合曲線構成，且任意兩環均無物理連接。對于鉆研紐結理論的數學家而言，它們之間的交互關系具有特殊魅力。而由博羅梅安環所界定的曲面，則被稱作塞弗特曲面。

格羅斯曼的這件雕塑既是紐結理論的具象化，也是一道空間謎題。為凸顯曲面奇詭的弧線走勢，她采用鏤空紋理——既讓光線在其間嬉戲，又將觀者視線引向這片充滿異想的地形構造。

《般若波羅密分形》（1993年）

梅琳達·格林（Melinda Green）

20世紀末，一種名為曼德勃羅集合的圖案席卷了數學與藝術界。這套分形體系以法美雙籍數學家伯努瓦·B·曼德勃羅命名，這位已故學者首次將分形整合為值得深入研究的領域，其1982年著作《大自然的分形幾何學》至今仍是經典。

該集合的構建始于復平面上的一個點（由二維圖形表示），將此點作為特定方程的初始值代入計算，再將得出的新解反復回代方程。若計算結果始終保持在可控范圍——數值略有增減卻不會無限膨脹——則初始點即屬于該集合。

這類集合的坐標圖呈現出標志性特征：無論放大或縮小局部，基本形態都會重復出現。但直至20世紀90年代，曼德勃羅集合的標準形態始終如同巨型甲蟲，邊緣散布著小甲蟲，小甲蟲上又附著更微小的甲蟲。

計算機程序員格林并不欣賞這種"甲蟲軀體"的樣貌。她另辟蹊徑編寫程序，著重展現某些點在平面上跳格移動的軌跡細節。當圖像在屏幕上顯現時，她不禁倒吸涼氣："我都不確定自己是否真的掐了手臂。"那分明是一尊形神兼備的佛陀造像。格林隨即調整代碼強化色彩層次，最終成就這幅作品。許多數學家常將數學抽象概念比作靈性體驗，而格林的"般若波羅密多分形"正是架通二者的具象橋梁。

《南極光》（2010年）

卡洛·H·塞昆（Carlo H. Séquin）

在數學藝術界，加州大學伯克利分校計算機科學家塞昆以數百件作品聞名，這些創作將關于曲面、扭轉與維度的玄妙概念賦予實體形態。他用木材、金屬和塑料打造了一座名副其實的數學形態動物園。

據藝術家自述，這件作品的靈感源于南半球天空上演的天光奇觀——南極光。雕塑中扭轉的緞帶呼應著光帶的流轉韻律：帶狀體從平面漸變為曲面，最終復歸平整并自我閉合。若以指尖沿雕塑蜿蜒路徑游走，無需抬指便可遍歷全貌，最終返回起點。其內表面即外表面，這正是莫比烏斯環的特性——已知最簡單的不可定向曲面，意味著"正面""背面""內外翻轉"等概念在此失效。

在塞昆看來，這類視覺形態不僅引人入勝，更成為理解深奧數學思想的通道。"這能讓厭惡數學的人重新聚焦，"他解釋道，"讓人們看到數學遠不止是機械記憶。"

《雙曲平面/擬球面》（2005年）

戴娜·泰米娜（Daina Taimina）

泰米娜的幾何手工藝探索始于20世紀90年代。彼時，這位如今已退休的數學家正在康奈爾大學教授非歐幾何分支——雙曲幾何課程。在歐氏幾何中，給定一條直線和直線外一點，經過該點且平行于原直線的直線有且僅有一條。但在非歐幾何中，經過該點且不與原直線相交的直線可能有多條，這是由于雙曲平面具有恒定負曲率（球面具有恒定正曲率，負曲率則更接近馬鞍面的形態）。因此，雙曲平面上三角形的內角和總小于180度——這種彎曲的奇異特性，恰如羽衣甘藍葉片邊緣的褶皺。

泰米娜希望制作可觸摸的模型，讓學生能直觀感受曲率。她畢生擅長的鉤針編織術恰好派上用場。憑借鉤針與毛線，她遵循一個簡單法則——指數級增加針數——創造出雙曲曲面。圖中這件作品呈現為處處具有負曲率的擬球面形態。

此后，泰米娜用繽紛色彩鉤織了數十件模型（最重的約17磅），并開創了"雙曲鉤編"技藝。她創作炫目曲面的方法僅有一個基本步驟："保持恒定曲率。"

《分形樹》（2002年）

約翰·西姆斯（John Sims）

現居佛羅里達州薩拉索塔的數學家兼藝術家西姆斯，其創作靈感源自廣闊的數學思想。畫面中央描繪了生長于分形結構上的樹木——所謂分形，即具有自相似性的圖案：無論放大或縮小局部，基本形態始終重復。

這類圖案在自然界中比比皆是：花椰菜蓬松的冠頂、鋸齒狀的山脈輪廓。科學家們借其研究從宇宙結構到鳥類飛行軌跡的諸多現象。

這件作品融合了真實樹木影像、手繪樹木圖稿與樹形分形圖案。西姆斯認為，它"詮釋了數學、藝術與自然的交匯"。在《分形樹》中，這些聯結的形態如同建筑模塊，大小相生，最終連綴成宏大的網絡。

2002年，西姆斯在林林藝術設計學院聯合策劃"數學藝術/藝術數學"展覽時，首次公開展出此作。他還以圓周率數位序列為靈感創作了大量作品，包括拼布被面和時裝。2015年，他與數學家兼藝術家薇·哈特合作推出《圓周率日頌歌》，二人在動感鼓點與貝斯節拍中吟誦圓周率數位。

《圣甲蟲》（2018年）

比亞內·耶斯佩森（Bjarne Jespersen）

耶斯佩森自稱魔法木雕師。這位丹麥藝術家追求的是令人難以置信的效果：他希望人們看到、觸摸、把玩他的木雕作品后，仍不敢相信其真實存在。"與其說是數學家或藝術家，我更像個魔術師。"他如是說。

當你捧起這顆球體，很快會發現每只甲蟲都能獨立晃動，卻又環環相扣——若不破壞整體結構，任何一只都無法剝離。整顆球由單一櫸木塊雕刻而成。

耶斯佩森的靈感源于荷蘭藝術家M.C.埃舍爾，后者的創作多具數學精神。埃舍爾將密鋪幾何圖形（即能無縫拼接覆蓋平面的重復圖案）推向大眾視野。數學家們長期研究密鋪的特性——不僅限于平面，更延伸至高維空間。（埃舍爾本人亦受伊斯蘭藝術中的密鋪啟發，尤其是裝飾西班牙南部阿爾罕布拉宮的紋樣。）耶斯佩森的《圣甲蟲》正是以甲蟲為基本單元構建的立體密鋪。

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長流，在下告退。

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