n階導數計算解析舉例

n階導數計算解析舉例

例題1：求y=x3/(109-x)的n階導數。

解：先對y進行變形，得：

y=x3/(109-x)

=-[x2(109-x)+109x(109-x)+1092(109-x)-1093]/(109-x)

=-(x2+109x+1092)+1093/(109-x)

=-(x2+109x+1092)-1093/(x-109)。

求導有：

y′=-(2x+109)+1093/(x-109)2，

y〞=-2-2*1093/(x-109)3，

y'''=6*1093/(x-109)4，

由于[1/(x-1)](n)=(-1)nn!/(x-1)n+1，

所以y(n)=1093*(-1)n+1*n!/(x-109)n+1,n≥3.

例題2：求y=48x3*lnx的n階導數。

解：法一，例推法

對函數依次求導，得：

y′=96x2lnx+48x2

y〞=6*48xlnx+3*48x+2*48x=6*48xlnx+5*48x

y'''=6*48lnx+6*48+5*48=48(6lnx+11).

∵(lnx)(n)=(-1)n+1(n-1)!x-n

∴y(n)=288*(-1)n-2(n-4)!x-(n-3),n≥4.

法二，n階導數展開公式法

∵y=48x3*lnx

∴y(n)=48Σ(0,n)C(n,r)(x3)(r)*(lnx)(n-r)

=48[C(n,0)(x3)(0)*(lnx)(n)+C(n,1)(x3)(1)*(lnx)(n-1)+

C(n,2)(x3)(2)*(lnx)(n-2)+C(n,3)(x3)(3)*(lnx)(n-3)]

=48[(lnx)(n)x3+n(3x2)(lnx)(n-1)+C(n,2)(6x)(lnx)(n-2)+C(n,3)6(lnx)(n-3)]

又(lnx)(n)=(-1)n+1(n-1)!x-n，則：

(lnx)(n-1)=(-1)n(n-2)!x-(n-1)，

(lnx)(n-2)=(-1)n-1(n-3)!x-(n-2)，

(lnx)(n-3)=(-1)n-2(n-4)!x-(n-3)，代入上式得：

y(n)=48[(-1)n+1x3(n-1)!x-n+3nx2(-1)n(n-2)!x-(n-1)+3n(n-1)x(-1)n-1(n-3)!x-(n-2)+n(n-1)(n-2)(-1)n-2(n-4)!x-(n-3)],

y(n)=48(-1)n-2(n-4)!x-n[-(n-1)(n-2)(n-3)x3+3n(n-2)(n-3)x3-3n(n-1)(n-3)x3+n(n-1)(n-2)x3],

y(n)=288*(-1)n-2(n-4)!x-(n-3),n≥4.

例題3：求y=cos231x的n階導數。

解：先對三角函數進行降冪，得：

y=cos231x

=(1+cos48x)/2=(1/2)cos48x+(1/2).

而(cosx)(n)=cos[x+(nπ/2)],則：

(coskx)(n)=kncos[kx+(nπ/2)],

所以：y(n)=(1/2)*48ncos[48x+(nπ/2)],n≥1.

例題4：求y=1/(x2-26x+120)的n階導數。

解：先對函數表達式分母進行因式分解并裂項：

y=1/(x2-26x+120)=1/(x-6)(x-20)

y=1/(x-6)-1/(x-20)

由于[1/(x-a)](n)=(-1)nn!/(x-a)n+1;

所以y(n)=(-1)nn!/(x-6)n+1-(-1)nn!/(x-20)n+1，n≥1.