數(shù)學(xué)家是怎么知道無(wú)窮大有多種大小的？——譯自量子雜志Quanta Magazine

一旦觸及 “無(wú)窮”，人類的直覺(jué)便會(huì)失效。首先要明確的是：有些無(wú)窮確實(shí)比其他無(wú)窮更大。

圖源：Quanta Magazine

作者：Mark Belan、Jordana Cepelewicz（量子雜志編輯）2026-2-23

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-2-24

無(wú)窮的概念向來(lái)難以被世人接受。亞里士多德徹底否定了無(wú)窮的存在，在他看來(lái)，無(wú)窮不過(guò)是一個(gè)永遠(yuǎn)無(wú)法企及的極限，并非真正的數(shù)學(xué)實(shí)體。17 世紀(jì)初，伽利略寫(xiě)道，人們對(duì)集合和數(shù)字的常規(guī)思考方式在無(wú)窮的領(lǐng)域中毫無(wú)意義，數(shù)學(xué)家若試圖將慣用的研究方法套用于此，只會(huì)陷入種種悖論。兩百年后，格奧爾格?康托爾將 “無(wú)窮存在多種大小” 這一觀點(diǎn)系統(tǒng)化、理論化，卻招致了世人的憤怒與質(zhì)疑，他的同僚們更是將他的研究成果斥為瘋子的囈語(yǔ)。

但隨著時(shí)間的推移，康托爾關(guān)于集合與無(wú)窮的研究，最終成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。另一位數(shù)學(xué)巨匠大衛(wèi)?希爾伯特后來(lái)寫(xiě)道：“沒(méi)有人能將我們從康托爾為我們締造的樂(lè)園中驅(qū)逐出去。”

那么，數(shù)學(xué)家是怎么知道無(wú)窮大有多種大小的？

歡迎來(lái)到康托爾的樂(lè)園。

第一部分 計(jì)數(shù)的本質(zhì)是什么？

數(shù)學(xué)家借助集合進(jìn)行計(jì)數(shù)。

集合（set）指的是任意一組對(duì)象的集合體，一個(gè)集合中包含的對(duì)象數(shù)量即為該集合的大小，或稱 “基數(shù)”（cardinality）。

我們對(duì)一個(gè)集合中的對(duì)象進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，本質(zhì)上是將自然數(shù)（1、2、3 等等）與集合中的每個(gè)對(duì)象一一配對(duì)。

當(dāng)數(shù)學(xué)家將這種計(jì)數(shù)方法應(yīng)用于無(wú)窮集合時(shí)，有趣的現(xiàn)象便出現(xiàn)了。

第二部分 對(duì)無(wú)窮進(jìn)行計(jì)數(shù)

自然數(shù)集……

…… 看起來(lái)似乎是偶數(shù)集的兩倍大。

畢竟，自然數(shù)集中既包含了所有的偶數(shù)，也包含了所有的奇數(shù)。

但這種直覺(jué)其實(shí)是錯(cuò)誤的，原因如下。

我們把兩個(gè)集合中的數(shù)字一一羅列出來(lái)。

可以將每個(gè)自然數(shù)與每個(gè)偶數(shù)兩兩配對(duì)。

結(jié)論：這種完美的一一配對(duì)關(guān)系說(shuō)明，這兩個(gè)集合的大小是相同的。

任何能與自然數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合，都被稱為 “可數(shù)” 無(wú)窮集。這類集合是無(wú)窮集中基數(shù)最小的一類。

第三部分 更復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題

自然數(shù)集……

…… 看起來(lái)似乎比有理數(shù)集（即分?jǐn)?shù)集）小得多。

畢竟，僅在 0 到 1 這一個(gè)區(qū)間內(nèi)，就存在無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)。

我們來(lái)對(duì)這兩個(gè)集合做個(gè)比較。

首先，將有理數(shù)集排列成一個(gè)網(wǎng)格。第一行是所有的自然數(shù)，以分?jǐn)?shù)形式呈現(xiàn)：1/1、2/1、3/1，依此類推。

第二行的每個(gè)分?jǐn)?shù)，分母都比第一行對(duì)應(yīng)位置的分?jǐn)?shù)大 1，即 1/2、2/2、3/2，依此類推。重復(fù)這一步驟，便能得到無(wú)窮多行，每一行又包含無(wú)窮多個(gè)數(shù)字。

我們?cè)囍鴮⑦@個(gè)集合與自然數(shù)集建立配對(duì)關(guān)系。如果只是將每個(gè)自然數(shù)與第一行的數(shù)字一一配對(duì)，那永遠(yuǎn)也無(wú)法觸及第二行的數(shù)字。

但有一種方法能讓我們畫(huà)一條線穿過(guò)這個(gè)網(wǎng)格，經(jīng)過(guò)其中的每一個(gè)數(shù)字，那就是沿著一條曲折的路徑遍歷所有數(shù)字。

現(xiàn)在，按照這條路徑上數(shù)字出現(xiàn)的順序，將每個(gè)自然數(shù)與每個(gè)有理數(shù)兩兩配對(duì)。遇到重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字（比如 2/2，它和 1/1 是同一個(gè)數(shù)）時(shí)，直接跳過(guò)即可。通過(guò)這種方式，就能讓每個(gè)自然數(shù)都與每個(gè)有理數(shù)形成一一配對(duì)。

結(jié)論：這兩個(gè)集合的大小再次相等。

但康托爾證明了，存在更大的無(wú)窮集 —— 即無(wú)法與自然數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的 “不可數(shù)” 無(wú)窮集。

第四部分 更大的無(wú)窮

自然數(shù)集……

…… 看起來(lái)似乎比實(shí)數(shù)集小得多，實(shí)數(shù)集既包含了所有的分?jǐn)?shù)，也包含了√2、π 這類無(wú)理數(shù)。

我們來(lái)看看對(duì)這兩個(gè)集合進(jìn)行比較會(huì)得到什么結(jié)果。

我們先假設(shè)，和之前的例子一樣，能將每個(gè)實(shí)數(shù)與每個(gè)自然數(shù)一一配對(duì)，且無(wú)任何遺漏。

接下來(lái)我們將證明，這種假設(shè)是絕對(duì)無(wú)法成立的。

先列出你所認(rèn)為的所有實(shí)數(shù)。接著，利用這個(gè)列表構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)字：取列表中第一個(gè)數(shù)字的第一位小數(shù)，將其加 1，作為新數(shù)字的第一位小數(shù)；取列表中第二個(gè)數(shù)字的第二位小數(shù)，將其加 1，作為新數(shù)字的第二位小數(shù)。依此規(guī)律，順著列表一直推導(dǎo)下去。

通過(guò)這種方式構(gòu)造出的新數(shù)字，必然不在你最初的列表之中。它的第一位小數(shù)與列表中第一個(gè)數(shù)字的第一位小數(shù)不同，第二位小數(shù)與列表中第二個(gè)數(shù)字的第二位小數(shù)不同，依此類推。這說(shuō)明我們最初的假設(shè) —— 即能列出所有實(shí)數(shù)并將其與自然數(shù)一一配對(duì) —— 是錯(cuò)誤的。

結(jié)論：實(shí)數(shù)集的基數(shù)一定大于自然數(shù)集。

實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的無(wú)窮集。

第五部分 實(shí)數(shù)間的關(guān)聯(lián)

0 到 1 之間的實(shí)數(shù)集……

…… 看起來(lái)似乎應(yīng)該是 0 到 2 之間實(shí)數(shù)集的一半大。

這和我們第一個(gè)例子的直覺(jué)感受如出一轍：自然數(shù)集看似是偶數(shù)集的兩倍大，但最終發(fā)現(xiàn)兩者的基數(shù)其實(shí)是相同的。

那么這個(gè)例子也是如此嗎？

從 0 到 1 的實(shí)數(shù)集中任取一個(gè)數(shù)字，比如 0.6，將其與 0 到 2 的實(shí)數(shù)集中兩倍于它的數(shù)字（此處即 1.2）配對(duì)。

將這個(gè)方法應(yīng)用于 0 到 1 的實(shí)數(shù)集中的每一個(gè)數(shù)字，就能讓這兩個(gè)集合形成完美的一一配對(duì)關(guān)系。

結(jié)論：這兩個(gè)集合的大小是相同的。

事實(shí)上，0 到 1 之間的所有實(shí)數(shù)組成的集合，其基數(shù)與全體實(shí)數(shù)組成的集合完全相同。實(shí)數(shù)軸上任意一段區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)集，基數(shù)都是相同的。

尾聲：康托爾的樂(lè)園

以上只是無(wú)窮集違背人類直覺(jué)的幾個(gè)例子而已。看似大小不同的無(wú)窮集，實(shí)際基數(shù)可能完全相同；當(dāng)然，也存在一個(gè)無(wú)窮集的基數(shù)遠(yuǎn)大于另一個(gè)的情況。我們?cè)诖藘H展示了無(wú)窮的兩種基數(shù)，但實(shí)際上，無(wú)窮的基數(shù)有無(wú)限多種。

康托爾的這一證明，讓數(shù)學(xué)家們開(kāi)始重新審視那些他們?cè)钚挪灰傻睦碚摚M(jìn)而催生出了新的研究領(lǐng)域，也讓數(shù)學(xué)界開(kāi)始重新審視這門學(xué)科 —— 探討數(shù)學(xué)的能力邊界，甚至重新思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

如今，數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谔剿骺低袪柕臉?lè)園，試圖探尋數(shù)學(xué)的極限。對(duì)于這個(gè)光怪陸離、充滿悖論的領(lǐng)域，他們?cè)缫巡辉傩拇嫖窇帧?/p>

圖源：Quanta Magazine

參考資料

https://www.quantamagazine.org/how-can-infinity-come-in-many-sizes-20260223/

文章轉(zhuǎn)載自“zzllrr小樂(lè)”微信公眾號(hào)