Hall 效應個子小本事大

筆者挑揀這一主題詞寫讀書筆記，算是很冒險、很冒失的行為。只是，這個效應在物理人揮灑的天地里形態很不均勻。有些地方極為清晰而顯著，有些地方又顯得晦暗不清。反正筆者一直都是“邊緣行走”的角色。那些有用的話，歸屬于讀者；那些錯誤的語，歸屬于筆者。

1.引子

諸如 Ising 這樣的物理人，當作為聽眾去學習一個屬于外行的報告講座時，唯一的優勢就是可以“無知者無畏”，立足大物理基礎而天馬行空、不受拘束地提問題。偶爾情況下，可能也會腦筋大開而收獲一遭。國人中的年長和年輕物理人，有很大比例羞于大膽提問題，導致學術交流效率不高。羞于提問者，大部分是腦海里的問題太過犀利，擔心問題提錯了會傷人；少部分是提不出問題。Ising 屬于這兩者之外：很熱衷于提出問題、且敢于無知者無畏地寫這個問題的讀書筆記。

比如，這里就提一個問題：什么是霍爾效應 (Hall effect，簡稱“霍爾”)。有讀者可能認為這不過是高中生知識，就如圖1 動畫所示那般。的確，用高中物理，自然可解釋經典霍爾；用大學物理，可以理解整數量子霍爾。霍爾效應，就是個經典古老的物理概念而已。不過，如果將這一概念拓展到凝聚態物理層面、拓展到量子材料中，霍爾就變成了除超導之外最重要的現代概念之一。所以，提出霍爾這個問題，并非沒多大意思，反而值得一書。

圖 1. 正常霍爾效應的簡單示意圖。

from https://makeabilitylab.github.io/physcomp/sensors/hall-effect.html。

面對如此基本的問題，筆者要渲染的是：即便有“無知者無畏”在作祟，卻也可以梳理出一些脈絡，哪怕這種梳理大多只是在電磁學/電動力學層面。

不妨試一試看：

(1) 在大學物理層面，磁場給電子 (電荷) 輸運提供橫向洛倫茲力 (qv × B)，電場給電子輸運提供縱向庫倫力 (qE)。這兩個力，一橫一縱，原本如固體的兩只拳頭，在實空間中縱橫四海、無往不至。無奈它們個頭差別很大，也就是筆者常說的能標差別很大(在固體中電子攜帶的靜電能與靜磁能差 104 倍)。經典物理學中的 (準靜態) 電磁行為，一直都被縱向的靜電力占大頭，動不動就是直通通的歐姆定律那般、大電壓/大電流/大能標過程。

(2) 從宏觀輸運角度，電流是電場縱向驅動的結果。電場作為極矢量，縱向驅動是其本質內涵和應用，簡單直接，體現了自然對人類的“友好與善意”，已成為物理文明的基石。與此對應，(很多時候) 在縱向電場輔助下，磁場驅動橫向輸運 (可稱“磁流”) 的結果，就是這“霍爾效應”了。磁場是軸矢量 (贗矢量)，天生橫向，個中變化要比電場復雜很多，體現了自然對人類的“考驗與刁難”，但也已成為現代物理文明的不可或缺。只是如上所提及的，固體中這橫向效應 (霍爾電壓) 總是比縱向效應要弱幾個量級，是個“小個子”。因此，經典物理學中，霍爾效應除了用來衡量載流子有多少之外 (應用主要限于磁場探測的霍爾磁強計)，其它可以炫耀自豪的本事不那么多。

(3) 在固體物理層面，縱向電荷輸運算得上是最好用、最好理解的過程：金屬輸運的歐姆定律，半導體輸運的小極化子、變域巡游、玻爾茲曼熱激發輸運，絕緣體的漏電流，如此等等。對溫度T 依賴的縱向輸運Tn 規律，也能給物理人很多電子結構和能帶的指針，如 T、T2、T1/2、T5/2 規律。如此這般，如此那般，甚至可由此直接勾劃出固體能帶的大致輪廓。物理人對縱向輸運基本能做到“縱向全是文章、到處都可物理”。在這個層面，與此映襯，卻很少有人想到用橫向輸運去做什么驅動或功 (探測除外)。橫向霍爾，也很少有對 T 和 B 的各種冪次方依賴規律呈現。現代工業文明中，主要的工程技術，大多數涉及的都是能標較高的物理，沒有給較低能標的橫向運動以太多機會和展現的舞臺，直到量子材料的研發和應用走向前臺。

(4) 的確，不同于歷史軌跡留給物理人的傳統印象，霍爾效應在當下量子凝聚態物理、特別是量子材料中卻是大展身手，讓筆者這樣的外行很是驚嘆而疑惑。這個橫向效應的信號很小，應不堪大用，為何卻屢受青睞？除了正常霍爾，還有反常霍爾、自旋霍爾效應、非線性霍爾、光學霍爾等成員。它們以各種面目出現在各種物理頂刊文章中，榮耀加身、曝光度高。例如，圍繞這個概念的諾獎已有好幾次了 (整數、分數、量子拓撲)，如圖 2 所示的幾個圖例所展示。再例如，薛其坤、方忠老師等各自獲得的國家自然科學一等獎中，霍爾效應也是主演之一。霍爾這般威風，憑什么呢？！

(5) 這里提及的所謂量子材料，說得粗暴直接一點，就是凝聚態物理人過去數十年尋找或合成出來的一些材料。其中扮演主要角色的，不再是那些能標巨大的輸運或響應過程。以載流子輸運物理為例，因為固體中電子關聯、平帶、拓撲保護約束等物理限制，一方面，電荷輸運嚴重受限，其運動動能(薛定諤方程中的動能/動量項P) 受到嚴重壓制，能標顯著減小(例如下降到~ 10 meV 以下)。另一方面，如 T、T2、T1/2、T5/2 這樣的縱向輸運冪指數 arguments，不足以反過來展現固體中電子關聯、平帶、拓撲保護等物理內涵。

如此，縱向輸運已如強弩之末，沒什么力道可以逞強了。那怎么辦呢？另辟蹊徑或萬不得已之法不多。在這么低的能標下，縱向輸運物理基本被鎖死，剩下的就是那個忽然“矮子變成高個”的、能標頗低得剛剛好的電子橫向運動。霍爾就此成為揭示物理過程的主角。

霍爾效應蟄伏百年，曾經的跑龍套小角色，終于找到一方展示自己才華的舞臺、混成了主角大咖。圖 2(A) 所示，正是物理人總結的、霍爾演過的一些重要角色(還可列舉更多)。所謂時勢造英雄，不知是霍爾造就了量子材料，還是后者成就了前者。

筆者是量子材料人，自然贊同后一種說辭：是量子材料，成就了霍爾。

圖 2. 霍爾效應(Hall effects) 的征程 (A) 和主演的部分代表性角色 (B)。

(a) 正常霍爾(Original Hall Effect, OHE)。(b) 反常霍爾(Anomalous Hall Effect, AHE)。(c) 自旋霍爾(Spin Hall Effect, SHE)。(d) 量子霍爾(Quantum Hall Effect, QHE)。(e) 逆自旋霍爾 (Inverse Spin Hall Effect, ISHE)。(f) 量子自旋霍爾(Quantum Spin Hall Effect, QSHE)。(g) 量子反常霍爾(Quantum Anomalous Hall Effect, QAHE)。(h) 光霍爾(Photo-Induced Hall Effect, PIHE)。

from Avi Karsenty, A Comprehensive Review of Integrated Hall Effects in Macro-, Micro-, Nanoscales, and Quantum Devices, Sensors 20(15), 4163 (2020),https://doi.org/10.3390/s20154163。

2.霍爾的舞臺

電子被驅動而橫向運動，到底能演哪些主角呢？不妨從半導體中那些小角色開始數，就可得出結果。圖 2(B) 所示，算是物理人總結得比較好的霍爾角色。知乎上有一些高人如“皇甫傷逝”等，就別出心裁用“反常”、“量子”、“自旋”三個定語分別施加到主語“霍爾效應”上，進行排列組合，再加上正常霍爾本身，一共有八種。如果加上分數霍爾等，理論上還可排列組合出更多霍爾，姑且不論。

如上八種霍爾是：正常霍爾、反常霍爾、量子霍爾、自旋霍爾、量子反常霍爾、反常自旋霍爾、量子自旋霍爾、量子反常自旋霍爾。很顯然，霍爾的演員之家陡增了這么多角色，未來發展自然更為順暢。最近一些年，物理人又將更多的霍爾，如非線性霍爾、拓撲霍爾等推到了新高度，包括有人提出的所謂“光導霍爾 (light-induced Hall effect)”、“光自旋霍爾”、“軌道霍爾”、“三維霍爾”、“熱霍爾”、“分數自旋霍爾”等概念，預示著橫向霍爾之家還在繼續膨脹。限于筆者水平，本文不打算 (也不懂) 細致地去討論這些霍爾分別是什么，也不太敢涉及其中嚴謹定義和機制。即便是圍繞如上所列八種情況，也可寫出“連篇累贅”的描述版本。這里只是隨意討論幾個例子，作為霍爾的鋪墊，特別關注于是否外加磁場、要不要宏觀磁矩、有沒有新物理、是否孕育了新機會等？！

其實，物理人早就注意到，這些霍爾中真正由外加磁場 B 直接激發的，就第一種正常霍爾。其它霍爾，雖然測量時可能需要 B 輔助來展示物理本源特征，但產生橫向信號的物理本質與 B 施加與否無關(如整數、分數量子化，施加外加磁場 B 只是為了得到量子化平臺，磁場 B 不是必須的)。到了大學物理，反常霍爾就可以被理解了。例如，微觀上磁矩平行排列構成鐵磁態，某個電子受到周圍磁矩發出的雜散磁場作用，類似于感受到一個“外加磁場”。電荷的橫向運動，并不是高中物理認定的那樣必須由外加磁場 B 驅動。只要有某種具有橫向驅動能力的力場施加到電子上，對應的霍爾信號就不為零。這一寓意沒毛病，是重要的意涵預示。

到了固體物理和固體量子層面，大約對應物理高年級本科和研究生層次，量子霍爾效應就可被理解了。要說固體中最棒的量子效應展示，除了縱向輸運的量子隧穿外，這里的橫向霍爾平臺及其整數量子化特征，由朗道能級在材料表面滑過所致，表現精彩絕倫，不量子都不行。

接下來是量子材料，如果磁性和自旋-軌道耦合 SOC 屬性都可歸于量子材料的話。量子材料中的霍爾就有了更多意涵。例如，自旋霍爾效應討論的，就不再是橫向電荷累積(橫向電壓)，而是自旋流的橫向累積(自旋極化)。這種效應在鐵磁體系中必然存在，因為鐵磁態總是多少存在上自旋和下自旋的輸運劈裂，橫向自旋極化的積累不可避免。在非磁體系中，本不應存在自旋霍爾，但如果有 SOC 存在，能帶劈裂的物理圖像同樣適用。此乃那些非磁性重金屬常被用來研究和展示自旋霍爾的原因。

量子材料中，最能體現對霍爾效應推動作用之成員，就是拓撲量子體系。長久以來居于理論之巔的那個“量子反常霍爾效應”，終于在磁性拓撲絕緣體的表面邊緣態那里，得以展現。按照物理人對霍爾的理解，這一效應存在“量子”和“反常”兩大元素。實現這一效應的物理載體 (材料) 需要有：(a) 反常― 按照大學物理的理解，反常即表示霍爾非外加磁場B引起，而是依賴宏觀內稟磁矩 M 之類；(b) 量子― 按照固體物理的理解，分立的每個朗道能級跨過樣品表面時貢獻量子化的邊緣電導，而體內和磁化過的表面則對電導沒有實質貢獻。磁性拓撲絕緣體，正好滿足這兩大元素：體內和表面均有能隙，呈現絕緣態，只有邊緣 (edges) 處呈現半個量子的電導。因此，磁性拓撲絕緣體被利用來展現量子反常霍爾效應，似乎是不多不少、恰到好處！物理人說拓撲物理運氣好，這是一大佐證。

行文至此，我們明白，物理人與霍爾打交道的時間已很長了、打交道的空間已很闊了，即便算不上洞察入微，知己知彼應不算夸張。這里的彼，是霍爾的渾身上下都幾被看透；這里的己，則可看成是物理人的氣里山河、胸盛乾坤。由此，如 Ising 這種“無知者無畏”的物理人，就可開始俯仰霍爾、隨意發揮，以看看是否窺得霍爾的一絲命門，也看看是否還有更多機會。

3.霍爾的命門

中醫說“命門者，諸神精之所舍、原氣之所系也”。中醫雖未必是科學，但這種文縐縐的描述，倒是很符合生命的本源之相。筆者只粗通物理，對電子及各種準粒子的橫向運動，只能如中醫看病一般，先于外表看看。如下行為，經常落于一點而不及其余，請讀者明察。

3.1. 等效磁場

第一層次，經典電磁學中，外磁場 B 和磁體磁矩 M，都是通過軌道電流而產生的。因此，對大學生而言，B 和 M 是一回事。當然，電子有自旋磁矩，但不妨礙對固體中經典霍爾圖像的理解。例如，從等效磁場角度，固體內某一電子周圍如果存在局域力矩 (如自旋矩、軌道矩、自旋-軌道矩等)，就有可能導致電子發生橫向運動。這些力矩(等效磁矩) 施加的雜散場作用于此電子上，固體的霍爾效應是必然結果。

如此，一組運動的電子，感受到周圍鐵磁態施加的磁場而展現霍爾，其表現與外加磁場的效果是一樣的。而且，這一效應還是非易失的，便利于應用或反過來利用之去測量固體本身的鐵磁性質。類似的物理圖像可推廣：只要有能夠等效于磁場 B 的驅動存在，霍爾效應都在，管您稱呼它正常、反常或什么常。圖 3(A) 所示，即物理人總結的等效磁場之一些模式。

圖 3. 電磁學和電動力學中的叉乘、贗矢量(軸矢量) 列舉。

(A) 電磁學等效磁場與橫向力的矢量表述。(B) 叉乘的數學表述：(1) 磁感應強度(磁場) 的安培定律定義；(2) 磁矢勢A與磁場B；(3) 洛倫茲力F；(4) 磁力矩M；(5) 角動量L；(6) 旋度和麥克斯韋方程之二；(7) 坡印廷矢量S；(8) 電偶極矩p的輻射；(9) 磁化電流Jm。

(A) from S. G. Tan et al, Yang–Mills physics in spintronics, Physics Reports 882, 1 (2020), https://doi.org/10.1016/j.physrep.2020.08.002。

3.2. 贗矢量與叉乘

第二層次，甚至更基礎。磁場 B 磁矩 M 都是贗矢量，定義于兩個極矢量(正常矢量) 的叉乘，因此施加的微觀洛倫茲力和宏觀安培力，都是橫向力。這里，就衍生出“贗矢量”場、“叉乘”作用、“旋度”形態、“橫向力”這些摻入了矢量幾何的圖像。提及這一圖像的背景意涵是，固體物理中只要存在具有此類數學特征的物理量，不管是在實空間，還是在動量 k 空間，物理人都可以大膽展望其中可能存在“反常”的霍爾效應。

這里注意到，固體和量子材料中難以回避的自旋- 軌道耦合 SOC (其中的 DM 作用、Rashba 作用)、界面異質結處某些對稱性破缺、手性、渦旋、各階矢量矩 (moment)，如此等等，都是包含叉乘數學的物理，正如圖 3(A) 所示。物理人將這一圖像歸結為楊振寧先生建立的所謂規范場 (gauge-field) 的后果，感興趣的讀者可前往御覽隨后所列的這篇文獻 [S. G. Tan et al, Yang–Mills physics in spintronics, Physics Reports 882, 1 (2020)]。其中，電磁學意義上，規范場中磁矢勢 A 與磁場 B 間的關系，就是通過叉乘而來：B = ▽× A，即磁矢勢的旋度就是磁場 B。圖 3(B) 羅列了幾個贗矢量和叉乘物理的例子，供讀者觀摩。

在唯象理論層面，這些物理或多或少都可聯系到矢量叉乘項，如(Si × Sj)，并通過與某個額外極矢量 (如 DM 作用量 Dij) 的點乘如 [Dij ? (Si × Sj)]，附加到系統總能量上去，從而對體系的結構與功能施加影響。這一影響，當然可通過橫向輸運的霍爾效應表現出來。其中，特別值得提出的，就是 SOC。因為在固體中它無處不在、能標變化范圍大、形式多樣化，因此成為量子材料最受青睞的物理之一，也留給了霍爾這一角色重要的戲份。

3.3. 能帶劈裂

因為霍爾效應是輸運行為，從能帶和電子結構角度去理解霍爾似乎更為本分和內在。事實上，從能帶的自旋劈裂圖像描述霍爾效應，的確更為清晰，讓初入此道的物理人大呼過癮：

(1) 所謂自旋劈裂，即上自旋和下自旋的電子能量不同，距離費米面的位置不同，因此在實際輸運中載流子的自旋與動量/軌道耦合，帶來自旋極化和特征輸運。不同自旋的電子在磁場或等效磁場或橫向力作用下，產生橫向偏轉電荷流(或自旋流)，即霍爾效應(或自旋霍爾)。

(2) 這種劈裂背后的物理有很多，已知的有相對論性的 SOC (DM, Rashba, Dresselhaus 等)，導致能帶中出現自旋劈裂。在鐵磁態中，交換耦合導致 Zeeman 劈裂，產生反常霍爾，這是非相對論性的。在反鐵磁態中，雖然宏觀沒有凈磁矩表現，也就沒有等效磁矩的圖像，但非共面磁結構，或雖然是共線磁結構、但局域旋轉對稱性破缺(即交錯磁性)，依然可以構成自旋劈裂。這也是非相對論性的，可導致上自旋帶和下自旋帶在能谷深處出現劈裂，即反常谷霍爾效應。

(3) 自旋劈裂更為 sophisticated 的例子，大概要數(非磁性) 拓撲絕緣體中的霍爾效應了。強的 SOC 導致拓撲絕緣體中體帶發生劈裂，但體能帶具有非平庸的拓撲性質，因此這類體系的表面態必須維持金屬態。更有甚者，表面處邊緣是螺旋邊緣態 (helical edges)，受時間反演對稱性保護，展現為自旋上下帶在邊緣反向傳輸、各自安好。此時，應會出現不同自旋的載流子在橫向邊緣反向流動帶來的量子自旋霍爾 (quantum spin Hall effect)，雖然信號可能很弱。

當然，更為漂亮的，是對拓撲絕緣體進行磁性加持(如磁性摻雜或 MnBi2Te4 那樣的磁性超晶格)，得到的是絕緣的體態和絕緣體的表面態，留下來可以輸運的是自旋鎖定的邊緣態，即量子反常霍爾效應 (quantum anomalous Hall effect)。物理人都知道，這一概念的實驗發現是薛其坤老師的杰作。

(4) 自旋劈裂導致霍爾的一個新進展，該是那共線反鐵磁的交錯磁性 (altermagnetism) 了。按照目前的理解，如果沒有 SOC 或局域非共面反鐵磁序，反鐵磁態中的載流子不會對應能級劈裂、缺乏橫向運動的驅動力，因此霍爾是不樂意的。然而，晶體離子占位的旋轉對稱性破缺，會導致能帶發生非相對論的 Zeeman 劈裂，依然呈現霍爾效應。交錯磁性，可能是到目前為止最不可思議的霍爾載體。

這一新的磁性，作為一類實空間呈現反鐵磁性、k 空間呈現類鐵磁能帶劈裂行為的新類別，其背后物理的科普描述在《量子材料》公眾號中能找到，如宋成的《》和 Ising 的《》。雖然個中細節在此不論，但這類新霍爾態的出現，再一次證明了霍爾效應有很多神秘的“面面觀”等待揭示。

圖 4. 能帶自旋劈裂的兩大類。

(A) 自旋-軌道耦合 SOC 帶來的劈裂。(B) 非 SOC 帶來的劈裂，其中 FM、AFM、AM 是指鐵磁體、反鐵磁體和交錯磁體(altermagnetics)。詳細圖示描述可見引用的文獻，在此不再贅述。

(A) from C. M. Acosta et al, Zeeman-type spin splitting in nonmagnetic three-dimensional compounds, npj Quantum Mater. 4, 41 (2019), https://www.nature.com/articles/s41535-019-0182-z。(B) from R. Tamang et al, Altermagnetism and Altermagnets: A Brief Review, Magnetism 5(3), 17 (2025); https://doi.org/10.3390/magnetism5030017。

3.4. 貝里曲率

對霍爾描述之最高層次，就觸及到所謂的“貝里曲率 (Berry curvature)”這一概念了。熟悉固體物理和能帶理論的物理人可能知曉，描述固體中載流子(電子波函數) 在 k 空間輸運的物理圖像，與量子相位密切聯系在一起，以 Aharonov-Bohm 效應為起點。不那么嚴謹的物理描述不難：

考慮固體中 k 空間布里淵區中某一條能帶 n。電動力學說，可由對應的波函數 unk 來定義所謂的局域形變，稱之為這條能帶的貝里聯絡 An(k)，很像電磁學中的磁矢勢 A(k)。這一貝里聯絡 An(k) 沿 k 空間的任意閉合曲線 C 的線積分，就構成了此能帶的貝里相位 γn。由矢量代數中的環路定理，貝里聯絡(磁矢勢) An(k) 的旋度，就是貝里曲率了。由此，就可以得到這條能帶上的載流子在電場 E 驅動下的運動速度 vn(k)，如圖 5 所示。

需要特別指出，這里討論的物理，與最近處于量子材料前沿的非平庸拓撲態物理密切相關，而量子霍爾或自旋霍爾效應是展現拓撲量子態輸運的一類效應。其重要性，經常使得此領域之外的物理人迷糊：拓撲不是能帶的整體幾何性質么？為何與霍爾效應有關？！這里不涉及拓撲物理的細節，但可以提及幾點與霍爾相關的特征：

(1) 載流子在電場 E 驅動下縱向運動 (k 空間)，現在多了一項“叉乘項”，且貝里曲率就是 k 空間中由能帶 n 施加的磁場。這，相當于實空間電子軌道運動給出的磁場 B 或磁矩 M。

(2) 叉乘，就是橫向運動，橫向運動就有霍爾。雖然這是 k 空間定義的霍爾，但轉換到實空間的載流子整體運動，霍爾展現的是與動量鎖定的量子化效應。

(3) 貝里曲率的定義，脫離了傳統電磁學中磁場的圖像，蘊含了固體中太多可能影響貝里相位或曲率的物理。也就是說，任何這樣的物理，無論是否與磁場或磁性相關，都可以是霍爾效應的源泉。

(4) 作為如上展示的一個最明確的實例，就是非線性霍爾效應 (nonlinear Hall effect, NLHE)。它依賴于材料內部的量子幾何特性，特別是貝里曲率(偶)極矩 (Berry curvature dipole)。理解之，連等效磁場的圖像都不需要。這樣的非線性，可以有這里討論的二階，也可以有更高階，對應于貝里曲率的高階極矩。實際測量時，不同于其它霍爾測量需要施加磁場來觸發明顯的霍爾特征，這里的非線性霍爾無需外加磁場即可直接測到橫向電壓。南方科技大學盧海舟教授團隊，對此很有心得。他們撰寫的那篇有名的展望文章，自然很值得一讀 [Z. Z. Du (杜宗正) et al, Nonlinear Hall effects, Nature Reviews Physics 3, 744 (2021), https://www.nature.com/articles/s42254-021-00359-6]。

既然這樣，物理人就可放手大干了。例如，前文提及的霍爾效應能否個頭大一點的問題，就提上了日程。本文標題說“Hall效應個子小本事大”，在這里有了一絲注解！

圖 5. 在 k 空間中對第 n 條能帶定義貝里物理量。

左側：(1) 由載流子波函數unk，定義出所謂的貝里聯絡An(k)。實際上，這里的梯度算符給出了波函數的局域畸變或形變。(2) 在閉合曲線C 上定義的An(k)線積分，就是整體幾何相位，即貝里相位γn。按照斯托克斯定理，由C 環繞的有限曲面S 上的面積分函數，就是貝里曲率Ωn(k)，也就是An(k)的旋度。(3) 貝里曲率Ωn(k)的旋度定義。(4) 半經典輸運理論中定義的k 空間之載流子速度vn(k)，包含波函數的本征值εn(k) 所驅動的第一項、貝里曲率驅動的第二項。注意到第二項有驅動電場E、有叉乘、有貝里曲率。按照電磁波中坡印亭 (Poynting) 矢量的類比定義，貝里曲率Ωn(k) 就是k 空間的磁場。很顯然，k空間中展現橫向運動的物理躍然紙上。右側：從緊束縛模型計算得出的費米球面上之貝里曲率分布：顏色標記了貝里曲率[|Ω-(kF)|] 之大小，其中“磁單極”處用紅色標記。

(左) 來自知乎問答文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/1968723411992815552。(右) from T. Mizushima et al, PRB 97, 024506 (2018); https://doi.org/10.1103/PhysRevB.97.024506。

3.5. 亦步亦強

無論怎么說，所有產生霍爾的物理，除了將霍爾作為表征各自本質的物理量之外，總把霍爾當成小配角是“不公平”的。物理人的無數癡心妄想之一，就是讓霍爾能夠扮演主角、堪輿大用。那么，首要的任務就是增大霍爾電壓或功率。

過去二十年，的確有物理人關注這一問題。從拓撲量子的本質功能看，拓撲是確保整體協同和配合的理念，以便所有載流子的組合運動能協同 (coherent)、魯棒 (robust)、高效 (efficient)。因此，拓撲量子體系，有可能蘊含很大的霍爾、極端精確的霍爾，給霍爾走向主動應用以希望。事實上，這一方向上有一些苗頭，例如：

(1) 將量子霍爾平臺作為測量基準，可能是一般黎民百姓難以置信的成就。量子霍爾平臺的準確度由其量子化電阻值 (RH~ 25812.807 Ω) 衡量。這是由基本物理常數 (RH= h/ne2) 定義的數值，實驗精度可達 10?? 量級，且對樣品形狀、雜質等干擾有極強的魯棒性。

(2) 將拓撲材料天生的高品質熱電效應利用起來，實現“縱向熱流、橫向發電”的熱電轉換，也是以前不會去設想的潛在機會：畢竟，誰會想到，那么個羸弱的霍爾，竟然可參與信息和能源轉換呢？！而且，這里還可做到不需要外加磁場就能驅動熱電轉換，因為這種轉換是那些具有顯著貝里曲率的拓撲體系之本征特性。目前實驗得到的最大霍爾電壓，可達~ 100 mV 量級甚至更大(霍爾電壓大，不意味著輸出功率大)，應對一些弱電應用需求可能已綽綽有余。

不過，本文接下來要推介的，并不是巨大霍爾效應本身，而是希望超越之。這種超越，體現在物理人能大膽創新：既要實現對霍爾內涵/外延的探索，又能實現巨大霍爾輸出。果若如此，渲染一番，也還是值得的。

圖 6. Kawasaki 他們的 DFO/LAO/STO 異質結 (A) 和 DFO/CRO 異質結 (B)。

(A): (a) DyFeO3 (DFO)在(H, T) 區間的磁結構相圖，針對正交結構的c 軸而繪制，展示了Fe3+ 自旋的兩套不同的磁晶格。(b)/(c) 兩套磁晶格AxGyCz和 GxAyFz的自旋紋理(織構、spin textures)。(d) DFO/LAO/STO 異質結示意圖，其中二維電子氣存在于LAO/STO 界面處，DFO 厚度17 個晶胞、LAO 厚度5 個晶胞。

(B) 作為圖(A)的參照，Kawasaki 他們制備了DFO(15?nm)/CaRuO3(CRO, 4?nm)異質結(b) & (c)，注意到CRO是順磁金屬態，擔綱霍爾輸運層。DFO 通過DFO/CRO界面對其施加近鄰有效磁場，用bem? 表示(b)。這一體系的霍爾信號很弱，而DFO/LAO/STO 異質結中測量到的霍爾信號很強，顯示了量子材料的多變角色特征。

(A) from L. F. Zhang et al, npj QM 11, 10 (2026); https://www.nature.com/articles/s41535-025-00839-3。(B) from T. C. Fujita et al, APL 125, 011602 (2024); https://doi.org/10.1063/5.0214345。

4.何以近鄰

怎么做到呢？如果審視如上圍繞霍爾的各種圖畫，讀者、包括筆者，似乎能覺察到：

? 正常霍爾，anyhow，磁場是加在固體體內的，是微觀效應疊加起來的宏觀效應。推展到鐵磁體系中的霍爾，從等效磁場視角去理解，也能視為有效場是加在體內的。因此，這些體系中霍爾效應的發生，總是可以找到等效的體內磁場 B 或磁矩 M，從而解釋霍爾效應是體內效應。超越之，交錯磁體中的霍爾、拓撲量子體系中的霍爾，無論是用 Zeeman 劈裂的圖像去理解，還是用 k 空間貝里曲率的機制來解釋，也都是通過構建一個體內類“鐵磁”或類“磁場”效應去理解霍爾的根源。

? 超越體效應之外，眾所周知，磁性異質結中近鄰效應也能導致霍爾。例如，一個面外磁矩非零的鐵磁層與一個半導體層組成異質結，或者干脆是 MnBi2Te4這樣的天然超晶格 (natural Bi2Te3/MnTe superlattices)，即是熟知的例證。其中所觀測到的霍爾效應，同樣可以借助鐵磁層為原子近鄰的半導體層提供雜散磁場或有效場這樣的圖像，來理解其中起源。

現在，筆者心中的問題躍然紙上：超越這些體效應、超越界面近鄰效應，還有什么新的霍爾效應嗎？有的，還真是有那么一點點“新穎、奇特”的現象出現。

來自日本久負盛名的東京大學應用物理系和“量子相位電子學研究中心(Quantum-Phase Electronics Center, QPEC)”的知名學者川崎雅司(Masashi Kawasaki) 教授，領導一個小組致力于量子相位電子學的研發工作。這里，他們用了“quantum-phase”這個詞組冠名他們的研究中心。筆者理解，這是強調量子(幾何) 相位，希望沒錯。畢竟，量子相位，一者與貝里相位及貝里曲率的圖像相一致，一者其本身也是量子科技未來依仗的重要性質。

Kawasaki他們最近就觀測到一類算是與霍爾相關的現象，結果發表在最近的《npj QM》上(文章一作應是一位華夏少年)。還是老一套，Ising 臨時抱佛腳，粗略瀏覽學習了他們的這篇文章，錄得如下讀書筆記：

(1) 從創新視角看，正常霍爾需要磁場，那就找不需要磁場的霍爾，如鐵磁反常霍爾；需要鐵磁，那就看避開鐵磁的霍爾，如反鐵磁霍爾，特別是最近出現的交錯磁能帶劈裂帶來的反常霍爾和貝里曲率帶來的量子反常霍爾。物理人如此這般如數家珍，卻也就給后來者尋覓到一絲創新帶來更大挑戰。

(2) 從霍爾個頭大小看，物理人都知道，金屬態的霍爾效應 if any，因為載流子屏蔽而很小。一般而言，能帶帶隙與霍爾電壓的對應關系是：帶隙越小，霍爾電壓越小。而本體磁性半導體的帶隙必然偏小。為此，可借助鐵磁-半導體異質結的近鄰效應，來實現大霍爾。這條路徑，前人也走過了，能不能超越或避開這熟門熟路？！

(3) Kawasaki 他們好像是有意無意地去“湊”這個“避開”。過去這些年，他們對制備鈣鈦礦氧化物異質結很有心得，制備的若干絕緣體氧化物異質結界面二維電子氣 (2DEG) 質量很高 (載流子濃度和遷移率的數值都不錯)。很顯然，他們希望由此得到大的霍爾效應。

(4) 怎么得到霍爾輸出呢？首先是外加磁場，這是體霍爾效應，不是他們要的。其次是在鐵磁體系中實現，這也不是他們要的。再次，將非磁層與鐵磁層組成異質結，在界面上實現二維電子氣，以利用鐵磁層磁矩對界面輸運的近鄰效應，這還不是他們想要的。這些不想要，皆是因為前人(包括他們自己) 都探索過了。

(5) 他們的創新方案是，基于完全非磁性的 SrTiO3/LaAlO3 (STO/LAO) 異質結，再在外層加上一層反鐵磁層，以杜絕鐵磁磁矩帶來的反常霍爾。他們的結構如圖6所示：在 STO 襯底上，沉積一層超薄的高質量 LAO層 (5 unit-thick)，形成異質結界面二維電子氣。然后在LAO表面上再沉積一層反鐵磁 DyFeO3 (DFO) 層，形成 DFO/LAO/STO 三層異質結。結果，他們在其中的 LAO/STO 界面二維電子氣中測到巨大的反常霍爾效應！多巨大呢？可以參見圖 7 所示數據。

(6) 筆者這里提請讀者注意，Kawasaki 他們的這些工作，使用的基片襯底都是 STO。注意到，STO 是強的抗磁體，因此對外來磁場 (if any) 包括等效場，有排斥作用，就如超導抗磁排斥磁力線一般。LAO 本體也是抗磁的，雖然在超薄狀態下抗磁性可能明顯減弱。抗磁性，對 DFO 可能施加給 LAO/STO 的等效磁場產生抵抗。而這種抵抗行為及其對霍爾的影響問題，尚未被關注。

這一工作的新意在于：反鐵磁 DFO 層，被 LAO 這一非磁性的絕緣層隔離，卻依然能夠對被隔開的 LAO/STO 界面二維電子氣施加影響，使之產生很大霍爾效應！當然，讀者如果仔細去揣摩這一結構及各層薄膜厚度，還是可以爭辯：這一霍爾，可能來自 DFO 施加的等效“磁場”：

首先，LAO 層厚度畢竟只有 5 unit cells、大概 2 nm，因此說 DFO 層對 2 nm 之外的 LAO/STO 二維電子氣層依然可以施加影響，并不為過。這里的 DFO層還是可被看成是“近鄰層”。只不過，DFO 呈現反鐵磁序，又被 LAO 隔開，它還能有足夠強的面外磁場去驅動 LAO/STO 二維電子氣產生那么大的霍爾效應么？

其次，DFO 被認為是非共面反鐵磁體，與目前高度關注的共線交錯磁體不同。目前還看不出 DFO 的晶體結構打破了旋轉對稱性的圖像。交錯磁性并不必須是共線反鐵磁，但這里的物理還不夠清晰明了，尚待后來者繼續探索。

再次，Kawasaki 他們制備過高質量的 CaRuO3 (CRO)/DyFeO3 (DFO) 異質結。在這一異質結界面處，他們測到的霍爾效應卻極其微弱。這一結果，預示著 DFO 近鄰與否，不是決定 LAO/STO 二維電子氣有很大霍爾效應的主體。更進一步發揮：DFO 層內那未被明確下來的“有效磁場”，即便存在，也并非 LAO/STO 異質結界面巨大霍爾效應的驅動力。

那么，是什么導致 DFO/LAO/STO 中出現那么大的霍爾呢？當然，Kawasaki 他們在這篇論文中嘗試的回答是“emergent field (i.e. proximity-induced emergent field)”，包括猜想 DFO 是一種非共線交錯磁體。注意到，凝聚態物理中最值得玩味的詞語，就是這個 emergent 單詞了。粗暴而言，emergent，就是“說不清道不明”。論文的結果豐富，值得讀者去細細品讀。限于篇幅和主題，筆者在此就不再喋喋不休。

圖 7. Kawasaki 團隊針對LAO(5 u.c.)/STO和DFO(17 u.c.)/LAO(5 u.c.)/STO 兩種異質結，在T = 2 K 下測量得到的霍爾輸運結果。

DFO與LAO都是絕緣體，其界面處不存在二維電子氣2DEG。二維電子氣存在于LAO/STO界面，這里STO是單晶襯底，圖中只標記了LAO(5 u.c.)和DFO(17 u.c.)/LAO(5 u.c.)。LAO/STO異質結的面磁電阻(sheet resistance) MRR與霍爾電阻Ryx顯示于圖(a)/(b)，其中兩帶模型能很好擬合2DEG的行為。對DFO/LAO/STO異質結，首先，MRR大小與LAO/STO異質結差不多，但在低磁場下的行為很不一樣，展現了DFO磁性施加了影響。巨大的差異體現在霍爾電阻上，DFO/LAO/STO異質結的霍爾電阻比LAO/STO異質結大5倍，且對磁場的依賴行為不同，其中的非線性部分展示于圖(e)中。注意到，DFO在外磁場作用下有顯著的磁化趨勢，結果顯示于圖(f)，晶胞磁矩達到5 μB。如此大的誘發磁矩可能對輸運中的反常霍爾有很大貢獻，但這種貢獻在DFO/CRO異質結中卻幾乎可以忽略，顯示這里的巨大霍爾未必是DFO中被外磁場誘發的磁矩所致。

5.不是結語

(反常) 霍爾效應，正如這里宣揚的，是量子材料除了超導之外最重要的效應(之一)，雖然筆者很不愿意加上這個“之一”。本文標題說霍爾這個原本個頭很小的效應，竟然可以如此有本事和強大。強大不是絕對意義上的數值大小，而是其代表的特征之多、之豐富，出其右者不多。此乃“不是結語”之一。

霍爾效應，即便可以無須外磁場、不要鐵磁矩、避開能帶劈裂，但大概率需要“量子貝里曲率”、要“叉乘(贗矢量場)”、要“規范場”。磁場、磁矩、能帶劈裂，都是高大上的物理名詞，但矢量叉乘卻簡單直接！因此，本文是一章將簡單問題不斷復雜化、然后又逐漸回歸到簡單數學符號的文字。有無用處，由讀者說了算！此乃“不是結語”之二。阿門！

最后指出，本文描述可能多有夸張、不周之處，敬請讀者諒解。對詳細內容感興趣的讀者，可點擊文尾的“閱讀原文”而御覽他們的論文原文。

Giant unconventional Hall effect in DyFeO3/LaAlO3/SrTiO3two-dimensional electron system via proximity-induced emergent field

Lingfei Zhang, Takahiro C. Fujita & Masashi Kawasaki

npj Quantum Materials 11, Article number: 10 (2026)

https://www.nature.com/articles/s41535-025-00839-3

青玉案·故里春聲

伊辛故里尋生意

綠作筆、泥涵地

吐翠田梯無盡婍

郁蔥方寸，迭聯交替

頃刻生新魅

有聞厚土穹天賜

半掩浮沉半連邐

墨竹凌寒顏略洗

告知芳草，告知山水

凝冽吟春事

(1) 筆者 Ising，任職南京大學物理學院，兼職《npj Quantum Materials》執行編輯。

(2) 小文標題“Hall效應個子小本事大”乃宣傳式的言辭，不是物理上嚴謹的說法。這里的“小”是指霍爾橫向電信號一般比縱向電信號要小很多，這里的“大”是指霍爾效應在展示量子材料物理上的強大表現力。取這一標題，無非是為了更感性加理性地表達本文內涵。

(3) 為撰寫本文，作為外行的筆者參閱過諸多網絡神文名篇，包括《知乎》《百度》和《Bing》上的資料。在此謹致謝意！本文夾塞了許多筆者粗知陋見，請讀者不以為意！

(4) 文底圖片乃 (20260308) 拍攝。那些菜花像不像上下(橫向)霍爾的電荷聚集？文底小詞 (20260215) 原本感慨家鄉故里的初春氣象。霍爾也算是物理人的多年故舊了，這里有了新生氣象，用來感嘆一番，也是合適的！

(5) 封面圖片底本來自南方科技大學劉奇航教授為《Physics》撰寫的展望文章。這是很炫的一張圖 from Qihang Liu, Rethinking the anomalous Hall effect: a symmetry revolution, Physics 18, 127 (July 7, 2025); https://physics.aps.org/articles/v18/127。感謝奇航老師，并請諒解筆者擅自添亂^_^！

文章轉載自“量子材料QuantumMaterials”微信公眾號