《線性代數：一名合格科研人的筑基課》第八課丨線性代數如何成為通用建模語言？——跨學科應用案例

導語

腦機接口的“意念解碼”、社交網絡的“社群發現”、單細胞生物學的“命運軌跡繪制”，這些看似無關的前沿領域，實則共享同一套線性代數語言：它們都需處理高維數據、提取核心特征、分析系統穩定性，而子空間、線性映射、特征值、矩陣分解等概念，正是解決這些問題的通用工具。本講通過三大應用場景，整合課程核心知識，展現線性代數的系統思維價值。

集智學園聯合清華大學數學博士諸葛昌靖老師推出「」，并邀請武漢大學數學與統計學院周進教授于1月20日、1月27日就特征值與特征向量在復雜網絡中的應用做特別加餐分享。課程已于12月20日開啟，歡迎加入課程群交流。

主題：線性代數如何成為通用建模語言？——跨學科應用案例

課程簡介

這是本系列課程的收官之作，也是檢驗“筑基”成果的實戰演練。

在前七講中，我們像建筑師一樣，一塊塊砌好了向量空間、內積、矩陣、特征值這些“數學磚塊”。而這一講，我們將走出圖紙，去一窺線性代數如何構建真實世界中宏偉的科學大廈。

本講通過信號處理、網絡科學與系統生物學中線性代數的應用，展示線性代數如何作為一種“通用建模語言”，幫助科研人員在紛繁復雜的現象中建立秩序。

你將看到：

• 傅里葉變換如何將腦電波映射到頻域，讓意念顯形；

• 拉普拉斯矩陣如何捕捉社交網絡的拓撲結構，讓隱形社群浮現；

• 矩陣分解與變換如何描述溝通分子到細胞的尺度，解釋神秘的基因與生命的行為。

通過本講的學習，你將完成從“做題家”到“建模者”的蛻變，真正理解為什么線性代數是現代科學不可或缺的系統思維框架。

課程大綱

應用一：腦機接口如何“讀心”？——信號的解碼

Neuralink等腦機接口設備采集的腦電信號是高維時間序列。通過Fourier變換將其映射到頻域，再用類似PCA提取關鍵成分，最終用SVM分類用戶意圖。整個流程是線性代數在信號處理中的完美體現。

• PCA：回顧概念、舉例、可視化

• SVM：數學及算法

• Fourier變換：無窮維線性空間中的應用，卷積、濾波、信號降噪、圖像壓縮

應用二：社交平臺如何發現“隱形社群”？——網絡結構的譜分析

微信、微博通過構建用戶互動圖，計算其Laplace矩陣的特征值與特征向量（圖傅里葉基），實現社區自動劃分。最小非零特征值（代數連通度）反映網絡魯棒性，而特征向量符號變化揭示群體邊界。

• Laplace 矩陣定義與譜性質

• 圖傅里葉變換

• 應用示例：聚類、社區檢測、信號傳播

• 矩陣擾動與靈敏度分析簡介（Weyl 不等式、Davis–Kahan 定理）

應用三：從分子到種群——生命科學中的線性代數應用

單細胞RNA-seq等測序技術產生百萬級基因表達數據，這些數據往往形成一個矩陣供下游分析。無論是傳統的batch數據還是單細胞偽時間軌跡預測，或者對于生物系統的動力學行為的控制，都需要通過矩陣的語言刻畫與描述。

• 反饋系統與控制：穩定性、可控性、可觀測性、Kalman 濾波

• 單細胞數據分析：降維、可視化及軌跡推斷中的線性代數

• 網絡生物學與分子互作網絡：功能模塊發現、調控網絡的粗粒化

課程信息

• 課程主題：線性代數如何成為通用建模語言？——跨學科應用案例

• 課程時間：2月14日（周六）晚 19:30–21:30

• 課程形式：

• • 騰訊會議（會議信息見群內通知）

  • 集智學園網站錄播（3 個工作日內上線）

課程主講人

北京工業大學數學統計學與力學學院副研究員，清華大學數學博士，研究方向：計算系統生物學。致力于數學與生物醫學的交叉研究，聚焦癌癥的演化機制及放化療、血液病、網絡藥理學及傳染病等復雜生物醫學問題的多尺度動力學建模與分析。

課程適用對象

• 數學基礎扎實，希望理解線性代數本質及系統應用的學生

• 對生物信息學、系統生物學、復雜網絡與復雜系統科學感興趣的跨學科學習者

• 希望在數據科學、機器學習、網絡分析、系統建模領域深入應用線性代數的人

• 對邏輯、抽象思維和系統性分析有長期興趣的公眾學習者

報名須知

• 課程形式：騰訊會議線上直播；集智學園網站錄播

• 課程周期：2025年12月20日—2026年2月，每周六 19:30–21:30

• 課程定價：

• • 全部課程原價 599 元(注：早鳥優惠已于第二講結束時截止)

可開發票

https://campus.swarma.org/course/5657

付費流程

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

線性代數：一名合格科研人的筑基課

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網絡科學，還是物理與工程，幾乎所有復雜系統的建模與推理，最終都會指向同一種底層語言——線性代數。

它不僅是一組計算公式，更是一名科研人理解“結構”、刻畫“變換”、判斷“穩定性”、提取“有效信息”的基本思維框架。本課程以系統科學的視角重新解構線性代數，帶你越過技巧，直達本質，在跨學科的真實問題中建立起堅實而可遷移的數學基礎。

詳情請見：